「题解」洛谷 P8375 [APIO2022] 游戏（神仙分治）

\(\mathcal{O}(nk)\)

注意到这条链的特殊性，对每个点维护 \(l_u,r_u\)，表示能到达 \(u\) 的特殊点中编号最大的点和 \(u\) 能到达的特殊点中编号最小的点，若 \(l_u\ge r_u\)，此时出现了环。

对于一次修改暴力枚举 \(u\) 可达的点和可达 \(u\) 的点，更新 \(l,r\)，不能更新立即退出。均摊分析可得，这样做的复杂度是 \(\mathcal{O}(nk)\) 的。

\(\mathcal{O}(n\sqrt{k})\)

注意到只需要判断 \(l\ge r\) 的特殊性，其实我们并不需要实时更新 \(l,r\)，可以仅在必要时更新。

仍然沿用上面的做法，将特殊点分块，维护暴力做法 \(l,r\) 所在块的编号，不能更新则退出。

若 \(l,r\) 在同一块中，维护真实的 \(l,r\) 编号，暴力更新其他点。

复杂度 \(\mathcal{O}(n\sqrt{k})\)。

\(\mathcal{O}(n\log{k})\)

考虑将 \(l,r\)，看作一个区间，挂在线段树分治结构上，满足 \(l\le \text{mid}<r\)，只维护 \(l,r\) 所在线段树区间的左右端点。

此时分类讨论相邻点 \(u\to v\) 间的贡献。

• \(u,v\) 在线段树上同点，此时没有任何贡献，直接返回。
• \(u,v\) 线段无交，\(u,v\) 有贡献当且仅当 \(u\) 在 \(v\) 右边，并且此时出现了环。
• \(u\) 包含 \(v\)，此时若 \(v\) 在 \(u\) 右子树内，\(u\) 在线段树上对应的区间也会相应地到达右子树内，递归维护；否则 \(v\) 在 \(u\) 左子树内，没有贡献。
• \(v\) 包含 \(u\) 类似讨论即可。

复杂度 \(\mathcal{O}(n\log{k})\)。