「题解」UOJ Round #6

A 破解密码

把相邻两项 \(h\) 抽出来列个方程，可以解得 \(a_{i-1}\)。

注意特判 \((26^n-1) \bmod p=0\)，即 \(26^n \bmod p=1\)。

B 智商锁

我们可以在 \(O(n^3)\) 内求出一个图的生成树个数。

准备 \(1000\) 张 \(10\times 10\) 的随机图，我们可以认为每张图的生成树个数在 \(1\sim 10^9\) 内均匀随机。

如果我们选出若干张图连成一棵树，生成树个数应该是每张图的个数积。

在 \(1000\) 张图里面，找到 \(4\) 张图积为给定的值，连成一棵树，是容易做的。

分析这样做的正确率，相当于 \(10^{12}\) 个值域为 \(10^9\) 的数随不到 \(x\) 的概率，根据生日悖论可知还是可以接受的。

C 懒癌

考虑完全图上的解法。

设有 \(k\) 只病狗。

• 若 \(k=1\)，第一天会传来一声枪声。
• 若 \(k=2\)，第二天，一只病狗的主人走出家门一看：“咦，我只看到了一只生病的狗？”然后他靠着他超高逼格的智商开始分析：如果我的狗没有生病，那么昨天这只病狗的狗主人应该没有看到任何一只生病的狗，那昨天就应该有枪声！好，一定是我的狗病了，“砰”。
• 以此类推，若 \(k>2\)，第 \(k\) 天，一只病狗的主人走出家门一看：“咦，我只看到了 \(k-1\) 只生病的狗？”然后他靠着他超高逼格的智商开始分析：如果我的狗没有生病，那么昨天这只病狗的狗主人应该看到 \(k-1\) 只生病的狗，那昨天就应该有枪声！好，一定是我的狗病了，“砰”。

故答案为 \(\sum_{i=1}^n i\dbinom{n}{i},\sum_{i=1}^n i\dbinom{n}{i}\)。

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现在来到任意图上。

DP，设 \(f_{S}\) 表示 \(S\) 集合内的狗病了，最早在第几天会听见枪声。

考虑 \(i\in S\)，然后我们接着靠着狗主人超高逼格的智商分析：如果我的狗没病，那么什么时候应该听到枪声呢？枚举所有可能的生病情况 \(V\)，那么如果我的狗没有生病，我最迟应该在 \(\max f_V\) 的时间听到枪声。所以我会在第 \(\max f_V+1\) 天开枪。\(f_{S}\) 就是所有 \(i\) 答案的 \(\min\)。

对于 \(V\)，有 \(i\notin V\)，\(i\) 能看到的点和 \(S\) 中保持一致，剩下的任意。

注意到生病的狗越多，听见枪声的时间应该越晚。

因此最优转移中，\(i\notin V\)，\(i\) 能看到的点和 \(S\) 中保持一致，剩下一定 \(\in V\)。

如果转移形成了环，环上的点一定不会开枪。

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考虑建一个新图，和原图互补。

此时若 \(S\) 中存在一个点或一个点可以到达的点在新图中的强连通分量大小 \(>1\)，转移就会出现环。

把这些连通块去掉，相连的边也删了，得到一个 DAG。

这样，一次转移相当于将 \(i\) 的权值设为 \(0\)，将 \(i\) 指向的点权值设为 \(1\)，直到所有的点权值为 \(0\)，答案就是所有的操作的次数最小值。

这等价于权值曾为 \(1\) 的点的数量。

也就是 \(i\) 可以到达的所有点。

记 \(t_i\) 表示可以到达 \(i\) 的结点数，第一问的答案即为 \(\sum 2^{n-d_i}(2^{d_i}-1)\)。

第一次开枪的人呢？

首先一定在 \(S\) 中。其次，对于一个点 \(i\)，它是第一次开枪的，当且仅当选择它转移后的 \(f\) 值最小，这等价于 \(i\) 是叶子结点。于是答案即为 \(\sum 2^{n-d_i}\)。