「题解」CF1060F Shrinking Tree（神仙计数 DP）

困难的。

考虑对于每个点 \(i\)，将它提至根，求所有操作方案的概率和。

考虑 \(i\) 现在已经和 \(u\) 点合并起来，但是还没有和 \(u\) 的子结点合并（下文称这种情况为 到达 \(u\)）。

考察 \(u\) 的一个儿子 \(v\)，我们仅考虑 \(v\) 的子树和 \((u,v)\) 边的方案数，且 \(i\) 到达 \(u\) 时 \(v\) 子树内还剩 \(j\) 条边，记为 \(f_{v,j+1}\)；\(i\) 到达 \(u\) 时子树内还剩 \(j\) 条边，记为 \(g_{u,j}\)。

观察 \(f_{v,j}\) 的转移，有两种情况：

• \(i\) 先到达 \(u\)，又和 \(v\) 合并：
  • 此时方案数为 \(0.5\sum_{k=0}^{j-1}g_{v,k}\)，即枚举 \(u,v\) 合并的时间。
• \(u\) 和 \(v\) 合并，\(i\) 又到达 \(u\)：
  • 此时方案数为 \((\text{siz}_v-j)g_{v,j}\)，即枚举 \(u,v\) 合并的时间。

观察 \(g\) 的转移，即把所有子树的 \(f\) 缝合：

对于子树的 \(f\) 的操作，分为两种类型：\(i\) 到达 \(u\) 时 \(v\) 子树之前的、之后的操作边。

形象地，

（来自 @ywy_c_asm）

连续段是不会断开的。

\(f_{v,x}g_{u,y}\dbinom{x+y}{x}\dbinom{\text{siz}_v-x+\text{siz}_u-y-1}{\text{siz}_u-y-1}\to g_{u,x+y}\)。

使用树上背包的套路，时间复杂度 \(\mathcal{O}(n^4)\)，前缀和优化 \(\mathcal{O}(n^3)\)。