数据结构

左偏树

\(\text{dis}(u)=\) 距离 \(u\) 最近的叶子节点（包括本身）到达 \(u\) 的距离。

左偏树有性质：\(\text{dis}(rs_u)\le \text{dis}(ls_u)\)，\(\text{dis}(u)=\text{dis}(rs_u)\)。

这样维护的好处是任意删点（合并左右儿子，再向上 pushup 直到符合条件的点立即终止）的复杂度是 \(\log n\) 的，原因在于：删掉点 \(u\)，把 \(u\) 的两个儿子合并后 \(\text{dis}'(u)\) 一定 \(\ge \text{dis}(u)-1\)。于是向上 pushup 时每上升一层，\(\text{dis}\) 值就会增加至少 \(1\)。

能持久化，k 短路。

圆方树

圆方树（小粉兔）

对每个点双连通子图建立的一棵树。

一个点双连通图的一个定义是：图中任意两不同点之间都有至少两条点不重复的路径。

一个近乎等价的定义是：不存在割点的图。这个定义只在图中只有两个点，一条连接它们的边时失效。它没有割点，但是并不能找到两条不相交的路径，因为只有一条路径。
（也可以理解为那一条路径可以算两次，的确没有交，因为不经过其他点）

Tarjan 算法求出的点双连通图是后者，因此做题时需要特殊判断这种情况，以及孤立点的情况。

一个关于点双很好的性质：对于一个点双中的两点，它们之间简单路径的并集，恰好完全等于这个点双，这可以通过构造最大流 \(=\) 最小割证明，详见 [APIO2018] 铁人两项。

AC 自动机

先建出 Trie，定义一个点 \(u\) 的 \(\text{border}\) 为另一个点 \(v\)，满足 \(v\) 在树上的前缀等于 \(u\) 在树上对应的后缀，且 \(v\) 是深度最大的。

查询一个串时，按类似 KMP 的方式找到以枚举的当前位为一段后缀在树上的深度最大的结点，它的所有 \(\text{border}\) 就是在文本串中出现的结点。

找所有 \(\text{border}\) 可以打标记拓扑排序优化。

有一个性质：所有子串在原串中出现的次数的和是 \(O(\sqrt{n})\) 级别的，详见 CF963D，可以记录有效更新结点实现。