一些常用套路

调试科技

• 注意边界 \(n=1\)，特判特殊情况
• 注意检验算法的正确性，如果一直调试不出

思维套路

• 推性质
• 确认题意没有看错！
• 能排序先排序
• 转化题意（转化为另一个等价条件）
• 主动强化题意
• 推一推特殊条件
• 在证明中发现新的性质
• 第一眼往往是正确的
• 思维题，尝试打破思维限制
• 最小转判定
• 最大化最小，最小化最大转二分，转 \(0-1\) 序列
• 二进制拆位算贡献
• 网格图，马上想到奇偶染色

算法思维

• 莫队
• 计算贡献
• 离线
• 扫描线，将二维操作沿着一维扫过去
• 倒着做
• 交换求和符号

根号科技

• 图上对度数根号分治（优化 DP）
• 两个集合，对大小根号分治
• 整除分治（$\sum_i \left \lfloor \dfrac{n}{i} \right \rfloor $）
• 分块，预处理两个块之间的答案
• 分块，维护在线的操作，懒标记
• 值域分块
• 树上莫队
• 定期重构

交互构造科技

• 二分（三分、四分）
• \(2\) 进制分组
• 多次询问合并加速
• \(2\) 进制转 \(k\) 进制，DP 寻找最优划分方案
• 随机化：先考虑随机一个下标进行询问

爆搜科技

• 折半
• 图上爆搜，找一个决策，容对应增加，大于 \(k\) 退出，复杂度 \(O(2^k)\)

DS 科技

• 冒泡排序交换次数为逆序对个数
• 中位数、次数大于一半的众数都可以转 \(k\) - th 处理
• \(k\) - th 可以二分，亦可二进制按位二分
• 大于一半的众数可以用摩尔投票

组合科技

https://www.luogu.com.cn/blog/534654/solution-binoms

• 组合数取对数

• \({\dbinom{n}{i}=\dbinom{n}{n-i}}\)，时刻别忘了这条

• \(\dbinom{n}{n}+\dbinom{n+1}{n}+\dbinom{n+2}{n}+\cdots+\dbinom{n+k}{n}=\dbinom{n+k+1}{n+1}\)，组合意义，\(n+k+1\) 个球依次放置，从后往前选

• \(\sum_i\dbinom{n}{i}=2^n=(1+1)^n\)。

• \(\sum_i\dbinom{n}{i}\dbinom{m}{k-i}=\dbinom{n+m}{k}\)，范德蒙德卷积

• \(a_i+a_j\le k\)，对 \(a_i\le \dfrac{k}{2}\) 和 \(>\) 分治

• 在答案不正确的情况下，乘上一个系数，答案正确（包括容斥）！

数论科技

• \((a_1+a_2+\cdots+a_n)^k\) 的组合意义
• \(i\times j\) 的因子个数 \(=\) \(\sum_{u\ |\ i}\sum_{v\ |\ j}[\gcd(u,v)=1]\)
• Polya 定理
• \(\max(a,b)=(a+b+|a-b|)/2\)
• \(i\bmod 2=\dfrac{1-(-1)^i}{2}\)