「题解」洛谷 P3401 洛谷树

描述

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思路

预处理出每个点到根结点路径上经过的所有边权的异或和 \(s_i\)，因为 \(a\operatorname{xor}a\operatorname{xor}b=b\)，询问操作可以转化为 \(u\) 到 \(v\) 的路径上经过的所有点的 \(s_i\) 中任选两个异或产生的所有结果的和。

因为异或运算位与位之间是独立的，考虑建 \(\log_2 \max\{w\}=10\) 棵线段树，第 \(i\) 棵线段树的每个结点维护一段 \(\text{dfn}\) 值连续的结点区间中 \(s\) 值第 \(i\) 位为 \(1\) 的结点有多少个。

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对于每次询问，树剖统计 \(u,v\) 路径上所有结点 \(s\) 值第 \(i\) 位为 \(1\) 的个数 \(w_i\)，记 \(u,v\) 路径上经过的结点个数为 \(z\)。然后按位处理，依次考虑每一位的贡献。第 \(i\) 位带来的贡献即为 \(w_i\cdot (x-w_i)\cdot 2^i\)，意思是每一个该位为 \(1\) 的结点 \(s\) 值与一个该位为 \(0\) 的结点的 \(s\) 值异或后该位会变成 \(1\)。

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对于每次修改，记录这条边原来的边权 \(x\)，记新边权为 \(y\)，若 \(x\) 与 \(y\) 第 \(i\) 位不相同，则将深度较深的结点的子树所有结点的 \(s\) 值第 \(i\) 位反转（即 \(1\) 变 \(0\)，\(0\) 变 \(1\)）。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LOGW 12
#define MAXN 30010
int n, q, a[MAXN], tim, wid[MAXN], fa[MAXN], dis[MAXN], siz[MAXN], son[MAXN], dfn[MAXN], top[MAXN];
vector<pair<int, int> > g[MAXN];
inline void init(const int &u, const int &f) {
	siz[u] = 1;
	for (register int i = 0; i < g[u].size(); i++) {
		const int v = g[u][i].first, w = g[u][i].second;
		if (v == f) continue;
		fa[v] = u;
		wid[v] = w;
		dis[v] = dis[u] + 1;
		init(v, u);
		siz[u] += siz[v];
		if (siz[v] > siz[son[u]]) son[u] = v;
	}
}
inline void dfs(const int &u, const int &p, const int &s) {
	top[u] = p;
	dfn[u] = ++tim;	
	a[dfn[u]] = s;
	if (!son[u]) return;
	dfs(son[u], p, s ^ wid[son[u]]);
	for (register int i = 0; i < g[u].size(); i++) {
		const int v = g[u][i].first, w = g[u][i].second;
		if (v == fa[u] || v == son[u]) continue;
		dfs(v, v, s ^ w);
	}
}
struct Segment_Tree {
	int sum[MAXN << 2][LOGW];   // 区间内所有数中第 i 位为 1 的数的个数 
	bool lzy[MAXN << 2][LOGW];
	inline bool GetIdx(const int &x, const int &k) { return x & (1ll << k); }
	inline bool InRange(const int &l, const int &r, const int &L, const int &R) { return L <= l && R >= r; }
	inline bool OutoRange(const int &l, const int &r, const int &L, const int &R) { return r < L || R < l; }
	inline void pushup(const int &u) { for (register int i = 0; i <= 10; i++) sum[u][i] = sum[u << 1][i] + sum[u << 1 | 1][i]; }
	inline void pushup_k(const int &u, const int &k) { sum[u][k] = sum[u << 1][k] + sum[u << 1 | 1][k]; }
	inline void maketag(const int &u, const int &l, const int &r, const int &k) {
		lzy[u][k] = !lzy[u][k]; sum[u][k] = r - l + 1 - sum[u][k]; 
	}
	inline void pushdown(const int &u, const int &l, const int &r, const int &k) {
		if (!lzy[u][k]) return;
		lzy[u][k] = 0;
		const int mid = (l + r) >> 1;
		maketag(u << 1, l, mid, k), maketag(u << 1 | 1, mid + 1, r, k);
	}
	inline void build(const int &u, const int &l, const int &r) {
		if (l == r) { for (register int i = 0; i <= 10; i++) sum[u][i] = GetIdx(a[l], i); return; } 
		const int mid = (l + r) >> 1; build(u << 1, l, mid), build(u << 1 | 1, mid + 1, r); pushup(u);
	}
	inline void update(const int &u, const int &l, const int &r, const int &L, const int &R, const int &k) {
		// 区间内所有数的第 k 位取反 
		if (InRange(l, r, L, R)) { maketag(u, l, r, k); return; } 
		else if (!OutoRange(l, r, L, R)) {
			pushdown(u, l, r, k);
			const int mid = (l + r) >> 1;
			update(u << 1, l, mid, L, R, k), update(u << 1 | 1, mid + 1, r, L, R, k);
			pushup_k(u, k);
		}
	}
	inline int query(const int &u, const int &l, const int &r, const int &L, const int &R, const int &k) {
		// 区间内第 k 位为 1 的数的个数
		if (InRange(l, r, L, R)) return sum[u][k];
		else if (!OutoRange(l, r, L, R)) {
			const int mid = (l + r) >> 1;
			pushdown(u, l, r, k);
			return query(u << 1, l, mid, L, R, k) + query(u << 1 | 1, mid + 1, r, L, R, k);
		} else return 0;
	}
} tree;
int tmp[12];   // 路径上第 i 位为 1 的数的个数 
inline long long query(int u, int v) {
	memset(tmp, 0, sizeof tmp);
	int cnt = 0;
	while (top[u] != top[v]) {
		if (dis[top[u]] < dis[top[v]]) swap(u, v);
		for (register int i = 0; i <= 10; i++) tmp[i] += tree.query(1, 1, n, dfn[top[u]], dfn[u], i); 
		cnt += dfn[u] - dfn[top[u]] + 1; u = fa[top[u]]; 
	}
	if (dis[u] < dis[v]) swap(u, v);
	cnt += dfn[u] - dfn[v] + 1;
	for (register int i = 0; i <= 10; i++) tmp[i] += tree.query(1, 1, n, dfn[v], dfn[u], i);
	long long ans = 0;
	for (register int i = 0; i <= 10; i++) ans += (1ll << i) * tmp[i] * (cnt - tmp[i]);
	return ans; 
}
inline void update(int u, int v, const int &w) {
	if (dis[u] > dis[v]) swap(u, v);
	for (register int i = 0; i <= 10; i++) {
		bool x = tree.GetIdx(w, i), y = tree.GetIdx(wid[v], i);
		if (x != y) tree.update(1, 1, n, dfn[v], dfn[v] + siz[v] - 1, i);
	}
	wid[v] = w;
}
signed main() {
	cin >> n >> q;
	for (register int i = 1; i < n; i++) {
		int u, v, w;
		cin >> u >> v >> w;
		g[u].push_back({v, w}), g[v].push_back({u, w});
	}
	dis[1] = 1; init(1, 0); dfs(1, 1, 0); tree.build(1, 1, n);
	while (q--) {
		int opt, u, v, w;
		cin >> opt >> u >> v;
		if (opt == 1) cout << query(u, v) << endl;
		else {
			cin >> w;
			update(u, v, w);
		}
	}
	return 0;
}