「题解」洛谷 P4093 序列

描述

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一个数列，数列中某些项的值可能会变化，但同一个时刻最多只有一个值发生变化。

你已经得知所有可能的变化，请选出一个子序列，使得在任意一种变化中，这个子序列都是不降的。

思路

设 \(f_i\) 表示以 \(i\) 结尾的不降子序列的长度，\(c_i\) 表示原先的数列，\(a_i\) 表示第 \(i\) 项最小可能变化到的值，\(b_i\) 表示第 \(i\) 项最大可能变化到的值。

则有 \(f_i=\max{\{f_j\}}+1\)，其中满足 \(j<i\)，\(b_j\le c_i\) 且 \(c_j\le a_i\)。

若暴力转移，时间复杂度 \(\mathcal{O}(n^2)\)，考虑使用某些毒瘤的数据结构优化转移。

仔细观察转移方程，我们想到了什么？

三维偏序：\(a_j\le a_i\)，\(b_j\le b_i\) 且 \(c_j\le c_i\) 的 \(j\) 的数量。

很像三维偏序对吧。

外层树状数组维护 \(b\) 属性，查询时取 \(1 \sim c_i\)，内层权值线段树维护 \(c\) 属性，查询时取 \(1 \sim a_i\)。

树状数组也不再维护对应 \(f\) 的加，而是维护 \(f\) 的最大值。

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 100010
int n, m, f[MAXN], a[MAXN], b[MAXN], c[MAXN];
int cnt, cnt1, tmp1[MAXN], root[MAXN];
struct node {
	int lson, rson, val;
} tree[MAXN << 6];
int lowbit(int x) { return x & (-x); }
void pushup(int u) { tree[u].val = max(tree[tree[u].lson].val, tree[tree[u].rson].val); }
void update(int &u, int l, int r, int k, int x) {
	if (!u) u = ++cnt;
	if (l == r) {
		tree[u].val = max(tree[u].val, x);
		return;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	if (k <= mid) update(tree[u].lson, l, mid, k, x);
	else update(tree[u].rson, mid + 1, r, k, x);
	pushup(u);
}
void add(int x, int y, int z) { 
	for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) update(root[i], 1, n, y, z); 
}
int query(int l, int r, int ci) {
	if (l == r) {
		int sum = 0;
		for (int i = 1; i <= cnt1; i++) sum = max(sum, tree[tmp1[i]].val);
		return sum;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	if (ci <= mid) {
		for (int i = 1; i <= cnt1; i++) tmp1[i] = tree[tmp1[i]].lson;
		return query(l, mid, ci);
	} else {
		int sum = 0;
		for (int i = 1; i <= cnt1; i++) sum = max(sum, tree[tree[tmp1[i]].lson].val);
		for (int i = 1; i <= cnt1; i++) tmp1[i] = tree[tmp1[i]].rson;
		return max(sum, query(mid + 1, r, ci));
	}
}
int find(int bi, int ci) {
	cnt1 = 0;
	for (int i = bi; i; i -= lowbit(i))
		tmp1[++cnt1] = root[i];
	return query(1, n, ci);
}
signed main() {
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> c[i];
		a[i] = b[i] = c[i];
	}
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		int x, y;
		cin >> x >> y;
		a[x] = min(a[x], y);
		b[x] = max(b[x], y);
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		f[i] = find(c[i], a[i]) + 1;
		add(b[i], c[i], f[i]);
	}
	int ans = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		ans = max(ans, f[i]);
	cout << ans << endl;
	return 0;
}