【莫队·进阶篇】二次离线莫队与区间逆序对问题
\(Preface\)
一种高端科技，在NOI2020Day1T3爆炸之后，不会\(A\)部分分（裸·区间逆序对）的余下定决心要好好学习根号算法。
二次离线莫队听名字就是个非常高级的东西，而且虽说是二次离线，但它的复杂度仍旧是\(O(n\sqrt n)\)，非常神奇。
应用范围
一般用于移动左右端点时复杂度较大的莫队。
例如区间逆序对，它有一个非常显然的莫队+树状数组的\(O(n\sqrt nlogn)\)做法，原因就是每次移动端点时要在树状数组上询问。
而二次离线莫队可以完美解决这个问题。
以区间逆序对问题为例
假设当前左右端点为\(L,R\)，现要将右端点向右移一位。
考虑这次移动之后，答案的变化值就是\([L,R]\)中大于\(a_{R+1}\)的数的个数。
这东西可以拆成两个：\([1,R]\)中大于\(a_{R+1}\)的数的个数减去\([1,L-1]\)中大于\(a_{R+1}\)的数的个数。
其中前面那个东西显然可以树状数组\(O(nlogn)\)预处理。
而后面这个东西，我们可以对于每个位置开一个\(vector\)，然后把\(R+1\)连同当前询问的编号一同扔到\(L-1\)的\(vector\)中。
根据莫队的复杂度证明，我们一共会移动端点\(O(n\sqrt n)\)次，这样的内存可能会有点大。
然而我们发现，假设一个询问需要我们把\(R\)向右移到\(R'\)，移动过程中\(L\)是保持不动的，因此实际上我们可以直接把\([R+1,R']\)整个区间连同询问编号一起扔到\(L-1\)的\(vector\)中。这样一来内存就是\(O(n)\)级别的了。
把移动区间扔到\(L-1\)的\(vector\)中的过程，就是第二次离线。
然后我们只要从左到右枚举每一个位置，处理该位置\(vector\)中的询问。
注意虽然我们存的是区间，但询问时依旧要枚举区间中的每一个数一个个询问，询问次数依旧是\(O(n\sqrt n)\)的。
又由于我们只会枚举\(1\sim n\)这\(n\)个位置，因此可以考虑适当增加修改的复杂度以实现\(O(1)\)询问。
于是就想到\(O(n\sqrt n)\)修改、\(O(1)\)询问的分块。
这样就彻底解决了整个问题。
具体实现过程（伪代码？）
具体实现中，由于左端点移动和右端点移动答案变化值询问范围相反，因此很多东西都要开两个。
- 读入数据并进行一些简单处理（例如离散化）。
- 预处理： 设\(t1_i,t2_i\)分别表示\(1\sim i-1\)中大于/小于\(i\)的数的个数，则用树状数组预处理出它俩的前缀和\(s1_i,s2_i\)。（\(t1_i,t2_i\)无需存储）
- 第一次离线： 给询问排序，进行莫队。（\(g1[x],g2[x]\)为每个位置的两个\(vector\)，四元组表示询问左/右端点、询问编号以及对答案贡献的符号）
- \(R<r_i\)：往\(g1[L-1]\)中扔入\((R+1,r_i,pos_i,-1)\)，\(ans[pos_i]\)加上\(s1_{r_i}-s1_R\)，然后令\(R=r_i\)。
- \(L>l_i\)：往\(g2[R]\)中扔入\((l_i,L-1,pos_i,1)\)，\(ans[pos_i]\)减去\(s2_{L-1}-s2_{l_i-1}\)，然后令\(L=l_i\)。
- \(R>r_i\)：往\(g1[L-1]\)中扔入\((R_i+1,R,pos_i,1)\)，\(ans[pos_i]\)减去\(s1_R-s1_{r_i}\)，然后令\(R=r_i\)。
- \(L<l_i\)：往\(g2[R]\)中扔入\((L,l_i-1,pos_i,-1)\)，\(ans[pos_i]\)加上\(s2_{l_i-1}-s2_{L-1}\)，然后令\(L=l_i\)。
- 第二次离线： 枚举每一个位置，处理\(vector\)中的询问。
- \(O(\sqrt n)\)加入\(a_i\)的贡献。
- 枚举\(g1\)中的元素\((l,r,pos,op)\)，枚举\(x\in[l,r]\)，给\(ans[pos]\)加上\(op\times Q1(a_x+1)\)（\(Q1(v)\)返回大于等于\(v\)的数的个数）。
- 枚举\(g2\)中的元素\((l,r,pos,op)\)，枚举\(x\in[l,r]\)，给\(ans[pos]\)加上\(op\times Q2(a_x-1)\)（\(Q2(v)\)返回小于等于\(v\)的数的个数）。
- 最后，给答案做个前缀和（因为我们求出的只是答案变化值），然后输出。
时间复杂度分析
预处理（树状数组）：\(O(nlogn)\)
第一次离线（莫队）：\(O(n)\)（因为此时我们没必要再一点一点移动端点，直接一步到位就可以了）
第二次离线（分块）：\(O(n\sqrt n)\)（修改单次复杂度\(O(\sqrt n)\)，次数\(O(n)\)；询问单次复杂度\(O(1)\)，次数\(O(n\sqrt n)\)）
总复杂度：\(O(n\sqrt n)\)
（如有不对请指出~~~）
\(Postscript\)
毒瘤lxl的题目让我感受到深深的恶意，果然NOI这种东西还不是余现在的水平能够挑战的。。。
