【博弈论·入门篇】$SG$函数基础入门
\(Preface\)
博弈论是个好东西，它的核心便是\(SG\)函数。
博弈论的应用应该算是非常广泛的，只不过余做过的不多罢了。
“由此及彼、由表及里、去粗取精、去伪存真” ，这就是由感性认识上升到理性认识的关键。
\(SG\)函数的概念
游戏\(A\)
经典的取石子游戏，即\(nim\)游戏。
有若干堆石子，每堆石子个数不一定相同。
对弈双方轮流进行决策，每次可以从一堆石子中取走部分或全部石子，但不能不取。
当某一个人无法决策时，他就输了。
询问先手和后手谁有必胜策略。
局面表示的两种暴力
考虑应该用怎样的方式来表示当前局面。
可重集
最简单的方法就是可重集了，即直接记录下当前每堆石子的个数。
显然这种方法复杂度过高，一点都不美丽，不值得余去喜爱。
集合
考虑如果有两堆数量相同的石子，那么当一个人操作其中一堆时，另一个人必然可以在另一堆中进行镜像操作。
唔姆，也就是说，这两堆石子完全无法对最终结果造成影响。
因此，若同种数量的石子堆存在多个，只需考虑堆数的奇偶性，一种数量最多只有一个贡献。
那么就可以用一个集合来记录下每堆石子的个数啦！
可惜这样还是远远不够的，还需要进一步优化。
局面的加法
暂且不管如何表示局面，先考虑把两种局面\(X,Y\)拼在一起会发生什么事。
假设已知\(X,Y\)先手的最终结果，那么所得局面\(S\)先手的最终结果对应为：
- \(X\)负，\(Y\)负：先手在其中一个游戏会输，则在另一个游戏中依旧是先手，仍然会输。因此，\(S\)负。
- \(X\)胜，\(Y\)负：先手在\(X\)中会胜，则后手在\(Y\)中就变成了先手，而先手变成后手有必胜策略。因此，\(S\)胜。
- \(X\)负，\(Y\)胜：同上，\(S\)胜。
- \(X\)胜，\(Y\)胜：要视情况而论，\(S\)的胜负并不一定。
用二进制数来表示一个局面
考虑能否用一个二进制数来表示一个局面，并用二进制下的异或运算表示局面的加法，规定二进制数为\(0\)时先手必败。
看看它是否满足先前的一些规律和性质：
- 两堆相同数量的石子会抵消，扩展一下也就是两个相同的局面会抵消：两个相同的数异或值为\(0\)，完美满足这个性质。
- \(X\)负，\(Y\)负\(\Leftrightarrow S\)负：\(0\oplus0=0\)。
- \(X\)胜，\(Y\)负\(\Leftrightarrow S\)胜：\(X\oplus0=X\not=0\)。
- \(X\)胜，\(Y\)胜\(\Leftrightarrow S\)胜负未知：\(X\oplus Y\)不知道是不是\(0\)。
综上，用二进制数来表示一个局面是可行的！
然后问题就在于，如何用一个合适的二进制数，能准确描述当前局面。
设立\(SG\)函数
唔姆，之前做了那么多的铺垫，现在终于可以请出黄金剧场今日的荣耀嘉宾——\(SG\)函数啦！
对于这个游戏，每一堆石子的\(SG\)函数就等于石子数。
关于如何求出一个游戏的\(SG\)函数在后文会有介绍，这里仅仅考虑证明它的正确性：
- 每一个必胜态\(S\)可以到达必败态\(T\)：
- 设\(S=s_1\oplus s_2\oplus...\oplus s_n\)。
- 因为\(S\not=0\)，必然存在\(s_k\)，满足\(S\oplus s_k<s_k\)。（比较显然，例如当\(S\)和\(s_k\)最高位相同，异或之后就会消去，值必然减小）
- 不妨令\(k=1\)，且设\(x=S\oplus s_1=s_2\oplus s_3\oplus...\oplus s_n\)。
- 由于\(x<s_1\)，因此可以从这堆石子中拿走\(s_1-x\)个石子，使得\(s_1'=x\)。
- 则新状态\(T=s_1'\oplus s_2\oplus s_3\oplus...\oplus s_n=x\oplus x=0\)，为必败态。
- 每一个必败态\(S\)只能到达必胜态\(T\)：
- 同样设\(S=s_1\oplus s_2\oplus...\oplus s_n=0\)。
- 由于一次取石头必然导致某个\(s_i\)发生改变，改动之后总异或和不可能再为\(0\)，也就是说\(T\not=0\)。
\(SG\)函数的一般求法
\(SG\)函数需要满足的条件
其实可以结合先前对\(nim\)游戏\(SG\)函数正确性的证明分析。
- 每一个必胜态\(S\)可以到达必败态\(T\)：
- 设\(SG(S)=SG(s_1)\oplus SG(s_2)\oplus...\oplus SG(s_n)\)。
- 因为\(SG(S)\not=0\)，必然存在\(s_k\)，满足\(SG(S)\oplus SG(s_k)<SG(s_k)\)。
- 不妨令\(k=1\)，且设\(x=SG(S)\oplus SG(s_1)=SG(s_2)\oplus SG(s_3)\oplus...\oplus SG(s_n)\)。
- 若能通过操作使得\(SG(s_1')=x\)，则新状态\(SG(T)=SG(s_1')\oplus SG(s_2)\oplus SG(s_3)\oplus...\oplus SG(s_n)=x\oplus x=0\)，为必败态。
- 为了保证\(SG(s_1')\)必然可以等于\(x\)，我们可以强制所有\(SG\)值小于\(SG(s_i)\)的后继状态都存在。（充分）
- 每一个必败态\(S\)只能到达必胜态\(T\)：
- 同样设\(SG(S)=SG(s_1)\oplus SG(s_2)\oplus...\oplus SG(s_n)=0\)。
- 如果一次操作能让某个\(SG(s_i)\)不变，则改动之后总异或和仍旧为\(0\)，也就是说\(SG(T)\)可能会是\(0\)，显然不合法。
- 即，\(SG(s_i)\)不能与某个后继状态的\(SG\)值相等。（充要）
\(SG\)函数的求法
既要满足\(SG\)值小于\(SG(s_i)\)的后继状态都存在，又要满足\(SG(s_i)\)不能与某个后继状态的\(SG\)值相等。
结合在一起就会发现，\(SG(S)=mex\{SG(s_1),SG(s_2),...,SG(s_n)\}\)。
顺便简单解释一下之前的游戏\(A\)（\(nim\)游戏），\(S\)可以转移到\(0\sim S-1\)，容易发现当\(SG(x)=x\)时刚好满足条件。
参考文献
2002 - 张一飞：《由感性认识到理性认识——透析一类搏弈游戏的解答过程》
\(Postscript\)
\(SG\)函数的入门结束了，但真正的博弈论才刚刚开始吶。。。
