【博弈论·入门篇】$SG$函数基础入门

\(Preface\)

博弈论是个好东西，它的核心便是$SG$函数。

博弈论的应用应该算是非常广泛的，只不过余做过的不多罢了。

“由此及彼、由表及里、去粗取精、去伪存真” ，这就是由感性认识上升到理性认识的关键。

$SG$函数的概念

游戏$A$

经典的取石子游戏，即$nim$游戏。

有若干堆石子，每堆石子个数不一定相同。

对弈双方轮流进行决策，每次可以从一堆石子中取走部分或全部石子，但不能不取。

当某一个人无法决策时，他就输了。

询问先手和后手谁有必胜策略。

局面表示的两种暴力

考虑应该用怎样的方式来表示当前局面。

可重集

最简单的方法就是可重集了，即直接记录下当前每堆石子的个数。

显然这种方法复杂度过高，一点都不美丽，不值得余去喜爱。

集合

考虑如果有两堆数量相同的石子，那么当一个人操作其中一堆时，另一个人必然可以在另一堆中进行镜像操作。

唔姆，也就是说，这两堆石子完全无法对最终结果造成影响。

因此，若同种数量的石子堆存在多个，只需考虑堆数的奇偶性，一种数量最多只有一个贡献。

那么就可以用一个集合来记录下每堆石子的个数啦！

可惜这样还是远远不够的，还需要进一步优化。

局面的加法

暂且不管如何表示局面，先考虑把两种局面$X,Y$拼在一起会发生什么事。

假设已知$X,Y$先手的最终结果，那么所得局面$S$先手的最终结果对应为：

• $X$负，$Y$负：先手在其中一个游戏会输，则在另一个游戏中依旧是先手，仍然会输。因此，$S$负。
• $X$胜，$Y$负：先手在$X$中会胜，则后手在$Y$中就变成了先手，而先手变成后手有必胜策略。因此，$S$胜。
• $X$负，$Y$胜：同上，$S$胜。
• $X$胜，$Y$胜：要视情况而论，$S$的胜负并不一定。

用二进制数来表示一个局面

考虑能否用一个二进制数来表示一个局面，并用二进制下的异或运算表示局面的加法，规定二进制数为$0$时先手必败。

看看它是否满足先前的一些规律和性质：

• 两堆相同数量的石子会抵消，扩展一下也就是两个相同的局面会抵消：两个相同的数异或值为$0$，完美满足这个性质。
• $X$负，$Y$负$\Leftrightarrow S$负：\(0\oplus0=0\)。
• $X$胜，$Y$负$\Leftrightarrow S$胜：\(X\oplus0=X\not=0\)。
• $X$胜，$Y$胜$\Leftrightarrow S$胜负未知：$X\oplus Y$不知道是不是$0$。

综上，用二进制数来表示一个局面是可行的！

然后问题就在于，如何用一个合适的二进制数，能准确描述当前局面。

设立$SG$函数

唔姆，之前做了那么多的铺垫，现在终于可以请出黄金剧场今日的荣耀嘉宾——$SG$函数啦！

对于这个游戏，每一堆石子的$SG$函数就等于石子数。

关于如何求出一个游戏的$SG$函数在后文会有介绍，这里仅仅考虑证明它的正确性：

• 每一个必胜态$S$可以到达必败态$T$：
  • 设$S=s_1\oplus s_2\oplus...\oplus s_n$。
  • 因为$S\not=0$，必然存在$s_k$，满足$S\oplus s_k<s_k$。（比较显然，例如当$S$和$s_k$最高位相同，异或之后就会消去，值必然减小）
  • 不妨令$k=1$，且设$x=S\oplus s_1=s_2\oplus s_3\oplus...\oplus s_n$。
  • 由于$x<s_1$，因此可以从这堆石子中拿走$s_1-x$个石子，使得$s_1'=x$。
  • 则新状态$T=s_1'\oplus s_2\oplus s_3\oplus...\oplus s_n=x\oplus x=0$，为必败态。
• 每一个必败态$S$只能到达必胜态$T$：
  • 同样设$S=s_1\oplus s_2\oplus...\oplus s_n=0$。
  • 由于一次取石头必然导致某个$s_i$发生改变，改动之后总异或和不可能再为$0$，也就是说$T\not=0$。

$SG$函数的一般求法

$SG$函数需要满足的条件

其实可以结合先前对$nim$游戏$SG$函数正确性的证明分析。

• 每一个必胜态$S$可以到达必败态$T$：
  • 设$SG(S)=SG(s_1)\oplus SG(s_2)\oplus...\oplus SG(s_n)$。
  • 因为$SG(S)\not=0$，必然存在$s_k$，满足$SG(S)\oplus SG(s_k)<SG(s_k)$。
  • 不妨令$k=1$，且设$x=SG(S)\oplus SG(s_1)=SG(s_2)\oplus SG(s_3)\oplus...\oplus SG(s_n)$。
  • 若能通过操作使得$SG(s_1')=x$，则新状态$SG(T)=SG(s_1')\oplus SG(s_2)\oplus SG(s_3)\oplus...\oplus SG(s_n)=x\oplus x=0$，为必败态。
  • 为了保证$SG(s_1')$必然可以等于$x$，我们可以强制所有$SG$值小于$SG(s_i)$的后继状态都存在。（充分）
• 每一个必败态$S$只能到达必胜态$T$：
  • 同样设$SG(S)=SG(s_1)\oplus SG(s_2)\oplus...\oplus SG(s_n)=0$。
  • 如果一次操作能让某个$SG(s_i)$不变，则改动之后总异或和仍旧为$0$，也就是说$SG(T)$可能会是$0$，显然不合法。
  • 即，$SG(s_i)$不能与某个后继状态的$SG$值相等。（充要）

$SG$函数的求法

既要满足$SG$值小于$SG(s_i)$的后继状态都存在，又要满足$SG(s_i)$不能与某个后继状态的$SG$值相等。

结合在一起就会发现，\(SG(S)=mex\{SG(s_1),SG(s_2),...,SG(s_n)\}\)。

顺便简单解释一下之前的游戏$A$（$nim$游戏），$S$可以转移到$0\sim S-1$，容易发现当$SG(x)=x$时刚好满足条件。

参考文献

2002 - 张一飞：《由感性认识到理性认识——透析一类搏弈游戏的解答过程》

\(Postscript\)

$SG$函数的入门结束了，但真正的博弈论才刚刚开始吶。。。