测试随笔

紧性小专题

A pedagogical history of compactness

\(\sect{1}\) 为什么我们要学习紧致性的历史？

​ 紧性已经成为了"高等数学"中最重要且有用的概念之一，紧性这个概念也成为了一些初学者的小障碍。在学习紧性的时候，不少初学者都没有被给出紧性相关的一些motivation，而是让他们自己通过例子或者定理的证明等方式理解紧性这个概念

​ 本节小专题是一片arXiv的文章的阅读摘要(翻译)，（以下把这篇文章简写为Aphoc），作者也指出了这篇文章不是一篇介绍紧性的历史的文章，而是对历史文献的综合，旨在澄清与紧性相关的一些主要思想。特别地，Aphoc这篇文章讨论了开覆盖和列紧的起源和发展：开覆盖引出的紧致性是如何以及为什么得到了青睐；还有涉及一些网和滤子在现在的数学的一些发展

​ 小专题里面的一些定理证明等也许不会直接描写出来，因为个人认为教材上基本应该都会有大部分的证明，另外就是有一些定理的术语和现在的术语有区别，因此可以借助wiki等网站进行检索是比较好的选择

​ 紧性相关的一些术语在历史上的不同时期有着不同的称呼，附录列出了这些术语以保证概念的清晰

\(\sect{2}\) 紧致性的一种可能的起源

​ 紧致性起源于19世纪中后期的欧洲，这个时代在数学历史上可谓是数学交流最多，思想碰撞最多的时代之一，"高等数学"开始因为Cantor的一些工作逐步变成了我们现在正在学习到的样子，而Cantor的工作也开启了集合论与点集拓扑学的系统研究，于此同时包括Weierstrass, Hausdorff和 Dedekind在内的许多数学家都对数学的基础感到担忧，并且着手对几个世纪以来被视为理所当然的观点进行严格的论证。虽然这个时期的一些工作来源于古希腊人关注的一些问题，但是严格和抽象二者的发展，即态度和思想二者的发展其实也反映了数学思想的发展与革命

​ 正是在这种环境下我们将会讨论一些问题，而这些问题似乎正好是激发了紧致性这一重要的概念。特别地，我们将讨论实数轴上的有界闭集(即大家熟知的[a,b])；连续函数空间；微分方程解的性质这三个问题

\(\sect{2.1}\) 实数轴上有界闭集[a,b]的性质

​ 十九世纪中后期，数学家们开始真正理解并确定实数的基本性质，这个时期发展出了两种关于此基本性质的描述，第一种是由Bolzano,Weierstrass等人所发展的描述，这个描述是从实数数列上定义的函数发展出来的，另一种描述则是从Heine, Borel与Lebesgue的工作中衍生出来的，这种描述是基于一些拓扑的特点，比如一些开邻域并起来就覆盖了集合。我们将要更加细致地讨论这两种描述

​ 列紧(序列紧致)这一概念的起源可以追溯到Weierstrass在1877年以一种比较严格的方式证明的一个定理，这个定理其实同时也描述了定义在实数轴上的有界闭集的连续函数的一些性质

​ 定理 2.1 (Weierstrass) 任一有界闭集上的连续函数必取得最大值。

​ 此处是Figure1:[a,b]上的连续函数

​ 引理 2.2 (Bolzano)

​ 这个引理现在被称为实数的最大下界性质，这个引理是非常重要的，他是实数概念的一个突破，这个引理的证明提供了非常重要的第一个极限过程的实际描述，这个引理也被拿来证明我们现在称呼的中值定理:若\(f\)在\([a,b]\)上连续并且\(f(a)f(b)<0\),那么在\([a,b]\)上至少存在一个点\(x\)使得\(f(x)=0\)

​ Bolzano对引理2.2的证明背后的思想是不停地二分区间，这种想法其实就是通过"扔掉"集合中"小于"它的点来缩小最小上界（此处感觉挺怪的，后面再来改改）

​ 这个迭代过程本质上与Weierstrass的关于最(大)值定理的证明过程相同，特别地，Bolzano的引理承认Weierstrass证明的关于任何实数上的有界闭集有极限点这一性质，其实这性质也是 Fr´echet在推广Weierstrass的定理2.1到抽象空间

时用到的性质，而这个性质如今正是我们熟知的\(Bolzano-Weierstrass\)性质 或者它有另外一个马甲:\(列紧性(limit-point\ compactness.)\)

​ 当Bolzano和Weierstrass等人试图用数列来描述实数的性质时，其他数学家，比如Borel和Lebesgue，则希望用开覆盖来描述实数的性质。而Borel在他1894年论文中证明了如下的引理:

​ 引理 2.3 (Borel)

​ 这里所谓的一条线其实就是表示一个有界区间，事实证明

Borel的定理的证明方法与Heine在1872年证明连续函数在闭区间上是一致连续的证明方法是类似的，其实连续函数在闭区间上一致连续这个定理Dirichlet在1852年就已经完成了证明，他的证明比Heine来地更加直接了当——使用了开覆盖，子覆盖的概念，不过Dirichlet的这份证明直到1904年才被发表，这可能也就解释了为什么他并没有选择相信广义的Borel引理（这段感觉不大好）。Weierstrass

的一个学生注意到Heine的工作与Borel的工作之间的联系，因此Heine的名字得以进入到定理的命名中。如今我们用现代的语言和符号阐述广义的Borel引理(通常被称为Heine-Borel定理)：

定理 2.4 (Heine-Borel) 实数轴上\(\R\)上的子集是紧致的当且仅当他是有界闭集

​ 当然，以现在的观点来看Heine自己并没有证明上面这个命题，不过他确实是证明了下面这个Cousin引理，在1895年，他将Borel引理推广到了任意覆盖，Cousin定理的叙述和现在的语言略有不同，下面描述的\(YOX\)平面其实就是\(\R^2\) 并且区域S用现在的语言来说就是所谓的有界闭集

引理2.5 (Cousin)

​ 换句话说，如果一个有界闭集的每一个点都能对应到一个有限邻域，那个该有界闭集可以被划分为有限个子集合，并且这些子集合

2.2 连续函数空间

对一些比如像连续函数空间这样的抽象拓扑空间的研究也激发了紧致性这个概念，在集合\(C^0[a,b]\) 中,"点"就是一个个的函数（要不要使用一个个这个词呢？毕竟不可数）(而在\([a,b]\)中，点就是一个个的实数)\([a,b]\) 区间上面

无限维线性空间

2.3 微分方程的解

第三个激发了紧致性概念的是关于求解微分方程

3 紧致性定义的发展

下面我们讲追溯上面讨论的关于紧性的两个中心概念的发展，这些概念来自于序列和实数的开覆盖