常用不等式
均值不等式
均值公式
1. 平方平均值
平方平均值（Quadratic Mean）又称均方根（Root Mean Square, RMS），其公式为：
\[Q = \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}{n}}
\]
特点：
- 大值敏感（平方放大了大数值的影响）
2. 算数平均值
算数平均值（Arithmetic Mean），即“平均数”，其公式为：
\[A = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}
\]
特点：
- 易受极端值影响
3. 几何平均值
几何平均值（Geometric Mean），常用于计算比率、指数或增长率的平均值——例如，计算某公司 3 年的平均利润增长率时使用几何平均，其公式为：
\[G = \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}
\]
特点：
- 受极端值的影响小于算数平均值
- 仅适用于具有等比或近似等比关系的数据
变式：
\[\log_{n}{G} = \frac{\log_{n}{x_1} + \log_{n}{x_2} + \dots + \log_{n}{x_n}}{n}
\]
4. 调和平均值
调和平均值（Harmonic Mean）常用于处理速率、密度、单位价格等具有倒数关系的平均问题，其公式为：
\[H = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n}}
\]
特点：
- 易受极端值影响
均值不等式
\[A \leq Q
\]
\[H \leq G \leq A \leq Q,\quad x_n > 0
\]
当且仅当 \(x_1 = x_2 = \dots = x_n\) 时，等号成立。
常见形式
\[\frac{a + b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}
\]
\[\frac{1}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leq \sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}, \quad a > 0,\ b > 0
\]
例题
1. 设 \(a\)，\(b\)，\(c\) 均为正数，且 \(a + b + c = 1\)，证明 \(ab + bc + ac \leq \frac{1}{3}\).
证明：
\[\begin{align*}
ab &\le \frac{a^2 + b^2}{2} \\
bc &\le \frac{b^2 + c^2}{2} \\
ac &\le \frac{a^2 + c^2}{2}
\end{align*}
\]
因此：
\[ab + bc + ac \le a^2 + b^2 + c^2
\]
又因为：
\[a + b + c = 1
\]
所以：
\[(a + b + c)^2 = 1
\]
即：
\[\begin{align*}
a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac &= 1 \\
a^2 + b^2 + c^2 &= 1 - 2(ab + bc + ac)
\end{align*}
\]
代入得：
\[ab + bc + ac \le 1 - 2(ab + bc + ac),
\]
即：
\[ab + bc + ac \le \frac{1}{3}.
\]
2. 设 \(a\)，\(b\)，\(c\) 均为正数，且 \(a + b + c = 1\)，证明 \(\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \geq 1\)
证明：
\[\begin{align*}
\frac{a^2}{b} + b \geq 2\sqrt{\frac{a^2}{b} \cdot b} = 2a \\
\frac{b^2}{c} + c \geq 2\sqrt{\frac{b^2}{c} \cdot c} = 2b \\
\frac{c^2}{a} + a \geq 2\sqrt{\frac{c^2}{a} \cdot a} = 2c
\end{align*}
\]
可得，
\[\begin{align*}
\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} + 1
&= \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} + a + b + c \\
&= \frac{a^2}{b} + b + \frac{b^2}{c} + c + \frac{c^2}{a} + a \\
&\geq 2a + 2b + 2c = 2
\end{align*}
\]
即，
\[\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \geq 1
\]
3. 设 \(a\)，\(b\) 均 为正数，且 \(a + b = 1\)，证明 \((1 + \frac{1}{a})(1 + \frac{1}{b}) \geq 9\)
证明：
\[\begin{align*}
\frac{a + a + b}{a} \geq \frac{3\sqrt[3]{a^2b}}{a} \\
\frac{b + a + b}{b} \geq \frac{3\sqrt[3]{ab^2}}{b}
\end{align*}
\]
则，
\[\begin{align*}
(1 + \frac{1}{a})(1 + \frac{1}{b})
&= (\frac{a + 1}{a})(\frac{b + 1}{b}) \\
&= (\frac{a + 1}{a})(\frac{b + 1}{b}) \\
&= (\frac{a + a + b}{a})(\frac{b + a + b}{b}) \\
&\geq 9 \frac{\sqrt[3]{a^2b}}{a} \frac{\sqrt[3]{ab^2}}{b} \\
&\geq 9 \frac{\sqrt[3]{a^3b^3}}{ab} = 9
\end{align*}
\]
注意
证明完成后注意验证等号成立的条件。
如例题 1，使用了
\[ab \leq \frac{a^2 + b^2}{2}
\]
则需验证 \(a = b\) 时，其等号是否成立，其余的 \(bc \leq \frac{b^2 + c^2}{2}\)，\(ac \leq \frac{a^2 + c^2}{2}\) 同理。
三角不等式
\[\lvert \lvert a \rvert - \lvert b \rvert \rvert \leq \lvert a \pm b \rvert \leq \lvert a \rvert + \lvert b \rvert
\]
当 \(ab \geq 0\) 时，
\[\lvert a + b \rvert = \lvert a \rvert + \lvert b \rvert
\]
\[\lvert \lvert a \rvert - \lvert b \rvert \rvert = \lvert a - b \rvert
\]
当 \(ab \leq 0\) 时，
\[\lvert \lvert a \rvert - \lvert b \rvert \rvert = \lvert a + b \rvert
\]
\[\lvert a - b \rvert = \lvert a \rvert + \lvert b \rvert
\]
例题
1. 已知函数 \(f(x) = |x - a^2| + |x - 2a + 1|\)，当 \(a = 2\) 时，求不等式 \(f(x) \geq 4\) 的解集
解：
当 \(a = 2\) 时，
\[f(x) = |x - 4| + |x - 3|
\]
当 \(x \geq 4\) 时：
\[\begin{aligned}
(x - 4) + (x - 3) &\geq 4 \\
2x - 7 &\geq 4 \\
x &\geq \frac{11}{2}
\end{aligned}
\]
当 \(3 \leq x < 4\) 时：
\[(4 - x) + (x - 3) \geq 4 \Rightarrow 1 \geq 4 \Rightarrow \varnothing
\]
当 \(x < 3\) 时：
\[\begin{aligned}
(4 - x) + (3 - x) &\geq 4 \\
-2x + 7 &\geq 4 \\
x &\leq \frac{3}{2}
\end{aligned}
\]
综上所述，\(f(x) \geq 4\) 的解集为，
\[\{x | x \leq \frac{3}{2} \text{ 或 } x \geq \frac{11}{2}\}
\]
2. 已知函数 \(f(x) = |x - a^2| + |x - 2a + 1|\)，若 \(f(x) \geq 4\)，求 \(a\) 的取值范围
解：
由三角不等式 \(|a| + |b| \geq |a \pm b|\) 得：
\[\begin{aligned}
f(x) &= |x - a^2| + |2a - 1 - x| \\
&\geq |(x - a^2) + (2a - 1 - x)| \\
&\geq |2a - a^2 - 1| = |-(a - 1)^2| = (a - 1)^2
\end{aligned}
\]
由题意得：
\[\begin{aligned}
(a - 1)^2 &\geq 4 \\
|a - 1| &\geq 2
\end{aligned}
\]
解得：
\[a \leq -1 \text{ 或 } a \geq 3
\]
柯西不等式
\[(a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \dots + b_n^2) \geq (a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n)^2
\]
证明：
记向量 \(\boldsymbol{a} = [a_1,a_2,\cdots,a_n]\)，\(\boldsymbol{b} = [b_1,b_2,\cdots,b_n]\)，则，
\[\begin{align*}
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a} &= \lvert \boldsymbol{a} \rvert^2 = a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2 \\
\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{b} &= \lvert \boldsymbol{b} \rvert^2 = b_1^2 + b_2^2 + \dots + b_n^2 \\
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} &= a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n
\end{align*}
\]
对任意实数 \(\lambda \in \mathbb{R}\)，有：
\[|\boldsymbol{a} - \lambda \boldsymbol{b}|^2 = |\boldsymbol{a}|^2 - 2\lambda (\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}) + \lambda^2 |\boldsymbol{b}|^2 \geq 0
\]
由于此函数为关于 \(\lambda\) 的二次函数，可知其判别式 \(\Delta \leq 0\)，即，
\[4(\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b})^2 - 4|\boldsymbol{a}|^2 |\boldsymbol{b}|^2 \leq 0
\]
\[|\boldsymbol{a}|^2|\boldsymbol{b}|^2 \geq (\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b})^2
\]
可得，
\[(a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \dots + b_n^2) \geq (a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n)^2
\]
当且仅当 \(|\boldsymbol{a} - \lambda \boldsymbol{b}|^2 = 0\) 时，等号成立，即存在实数 \(\lambda\)，使得：
\[\boldsymbol{a} = \lambda \boldsymbol{b}
\]
此时 \(\boldsymbol{a}\) 与 \(\boldsymbol{b}\) 线性相关。
例题
1. 证明 \(x_1^2 + (x_2 - x_1)^2 + (x_3 - x_2)^2 + \cdots + (a - x_{n - 1})^2 \geq \frac{a^2}{n}(n \geq 2)\)
证明：
\[\begin{aligned}
&[x_1^2 + (x_2 - x_1)^2 + (x_3 - x_2)^2 + \cdots + (a - x_{n - 1})^2]n \\
= &[x_1^2 + (x_2 - x_1)^2 + (x_3 - x_2)^2 + \cdots + (a - x_{n - 1})^2](1^2 + 1^2 + \cdots + 1^2) \\
\geq &[x_1 + (x_2 - x_1) + (x_3 - x_2) + \cdots + (a - x_{n - 1})]^2 = a^2
\end{aligned}
\]
即，
\[x_1^2 + (x_2 - x_1)^2 + (x_3 - x_2)^2 + \cdots + (a - x_{n - 1})^2 \geq \frac{a^2}{n}
\]
2.证明 \((a + b + c + d)^2 \leq 3(a^2 + b^2 + c^2 + d^2) + 6ab\)
证明：
\[\begin{aligned}
(a + b + c + d)^2
&= [(a + b) + c + d]^2 \\
&\leq (1^2 + 1^2 + 1^2)[(a + b)^2 + c^2 + d^2] \\
&= 3(a^2 + 2ab + b^2 + c^2 + d^2) \\
&= 3(a^2 + b^2 + c^2 + d^2) + 6ab
\end{aligned}
\]
浙公网安备 33010602011771号