一元 n 次方程根与系数的关系

一元二次方程

已知 \(ax^2 + bx + c = 0 (a \neq 0)\) 为一元二次方程，
可得：

\[ax^2 + bx = -c \]

两边同乘 \(4a\) 可得：

\[4a^2 x^2 + 4ab x = -4ac \]

两边同加 \(b^2\) 可得：

\[4a^2 x^2 + 4ab x + b^2 = b^2 - 4ac \]

即：

\[(2ax + b)^2 = b^2 - 4ac \]

记 \(\Delta = b^2 - 4ac\)，则

1. 当 \(\Delta > 0\) 时

\[2ax + b = \pm\sqrt{b^2 - 4ac} \]

解得：

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

2. 当 \(\Delta = 0\) 时

解得：

\[x = \frac{-b}{2a} \]

3. 当 \(\Delta < 0\) 时

\[2ax + b = \pm i\sqrt{4ac - b^2} \]

解得：

\[x = \frac{-b \pm i\sqrt{4ac - b^2}}{2a} \]

易忘变换

\[\lvert x_1 \pm x_2 \rvert = \sqrt{(x_1 \pm x_2)^2} = \sqrt{(x_1 \mp x_2)^2 \pm 4x_1 x_2} \]

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一元 \(n\) 次方程

韦达定理

设 \(f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0 (a_n \neq 0)\) 的根为 \(x_1, x_2, \cdots, x_n\)，则：

\[\begin{cases} x_1 + x_2 + \dots + x_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n}, \\ x_1 x_2 + x_1 x_3 + \dots + x_{n-1} x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n}, \\ \qquad \qquad \cdots \\ x_1 x_2 \dots x_n = (-1)^n \cdot \frac{a_0}{a_n}. \end{cases} \]

常用： 设 \(ax^2 + bx + c = 0 (a \neq 0)\) 的两个根为 \(x_1, x_2\)，则：

\[\begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \\ x_1 x_2 = \frac{c}{a}. \end{cases} \]