莫队初探

莫队说：

众所周知，"莫队算法"是用于一类离线区间询问问题的常用算法，以适用性广、代码量短、实际运行速度快、适合骗分 等优点著称，广泛在OI/ACM中被使用和研究。

莫队作为基于暴力的离线算法，降低时间复杂度的主要方法在于，对各询问作出合适的处理。简单说，通过对各讯问进行合理的排序，使得后面的询问可以充分利用之前询问所得到的信息，就可以神奇地将时间复杂度从 \(O(NM)\) 降至 \(O(N \sqrt{M})\) 。
这样看来的确适合骗分

普通莫队

来道例题：AcWing 2492. HH的项链
最简单的方法当然是来一个询问就对区间[L, R]进行扫描，期望时间复杂度 \(O(NM)\)，不能再快了
怎么优化呢？我们可以很容易地发现，对于区间\([L, R]\)，我们可以将它的状态转移至\([L + 1, R]\)， \([L - 1, R]\)， \([L, R + 1]\) 和 \([L, R - 1]\)。因此，我们可以通过双指针的方法，将区间\([L_i, R_i]\)转移至\([L_{i + 1}, R_{i + 1}]\)。我们也可以很容易地发现，时间复杂度还是\(O(NM)\)。并没什么用，但又有点用，因为这是莫队的基础。
再往后，我们可以发现，这种优化的瓶颈在于两个端点的移动次数。只要将右端点升序排序，就可以使右端点最多移动 N 次。这种方式给我们了启发，如果将相邻的左端点也排在一起，复杂度不就降下来了吗？
莫队维护左端点的方法是分块。令每个块的长度为 S，那么总共可以分为\(\frac{N}{S}\) 个块。我们将所有区间左端点 L 按所属的块排序，L 相同时再按右端点 R 递增排序。在这样的顺序下，再用上文说过的双指针的暴力做法。此时我们再分析复杂度可以发现：

1. 对于左端点指针，在每个块内移动的次数为 S ，移动 M 次；块间移动的次数为 S ，一共移动 \(\frac{N}{S}\) 次。复杂度为 \(O(SM + N)\).
2. 对于右端点指针，当左端点在同一块内时，移动 N 次，一共有 \(\frac{N}{S}\) 个块。复杂度为 \(O(\frac{N ^ 2}{S})\).
3. 如此一来，整个算法的时间复杂度为 \(O(SM + N + \frac{N^2}{S})\) 。其中 N 移动小于 \(\frac{N ^ 2}{S}\) ，予以忽略。又由基本不等式 \(a + b \geq 2\sqrt{ab}\) 可知，\(SM + \frac{N ^ 2}{S} \geq 2\sqrt{MN ^ 2} = 2N\sqrt{M}\) ，当且仅当 \(SM = \frac{N ^ 2}{S}\) 时，即 \(S = \frac{N\sqrt{M}}{M}\) 时，有最小复杂度 \(O(N\sqrt{M})\) 。

这就是莫队的实现，没错，就像之前说的，莫队是基于暴力的离线算法。

Code

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#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N = 50000 + 10;
const int M = 200000 + 10;
const int S = 1000000 + 10;
struct Query {
    int id, l, r;
};
Query q[M];
int w[N], ans[M], cnt[S];
int n, m, len;
inline int read() {
    int s = 0, f = 1;
    char c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9') {
        if (c == '-') f = -1;
        c = getchar();
    }
    while (c >= '0' && c <= '9') {
        s = (s << 3) + (s << 1) + (c ^ 48);
        c = getchar();
    }
    return s * f;
}
inline int Get(int x) {
    return x / len;
}
inline bool cmp(Query a, Query b) {
    int i, j;
    i = Get(a.l), j= Get(b.l); //取左端点所在区间
    return i != j ? i < j : a.r < b.r; //先按块排，再右端点升序
}
inline void Add(int x, int &res) {
    if (!cnt[x]) ++res;
    ++cnt[x];
}
inline void Del(int x, int &res) {
    --cnt[x];
    if (!cnt[x]) --res;
}
int main() {
    n = read();
    for (int i = 1; i <= n; ++i) w[i] = read();
    m = read();
    len = max(1, (int) sqrt((double) n * n / m));
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        int l, r;
        l = read(), r = read();
        q[i] = (Query) {i, l, r};
    }
    sort(q + 1, q + m + 1, cmp); //排序    
    for (int k = 1, i = 0, j = 1, res = 0; k <= m; ++k) {
        while (i < q[k].r) Add(w[++i], res);
        while (i > q[k].r) Del(w[i--], res);
        while (j < q[k].l) Del(w[j++], res);
        while (j > q[k].l) Add(w[--j], res); //这四句及其精华，同时也比较容易写错，建议在纸上推一边理解
        ans[q[k].id] = res;
    }
    for (int i = 1; i <= m; ++i) printf ("%d\n", ans[i]);
    return 0;
}