CCCC团体程序设计天梯赛 L2-014 列车调度

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题目描述

火车站的列车调度铁轨的结构如下图所示。

两端分别是一条入口（Entrance）轨道和一条出口（Exit）轨道，它们之间有N条平行的轨道。每趟列车从入口可以选择任意一条轨道进入，最后从出口离开。在图中有9趟列车，在入口处按照{8，4，2，5，3，9，1，6，7}的顺序排队等待进入。如果要求它们必须按序号递减的顺序从出口离开，则至少需要多少条平行铁轨用于调度？

题目解析

首先分析一下题目给出的样例是如何做到用4个通道完成重排顺序的。

原顺序为{8，4，2，5，3，9，1，6，7}，8 第一个进入，自然放入第一个通道，接下来的{4，2}，保持顺序递减，也可以跟在 8 后面进入第一个通道。但到了 5 ，它如果也进入第一个通道，那么出去时无论如何也会在{4，2}后面，做不到顺序递减，所以 5 应进入新的通道，接下来是 3 ，它同理也是不能进入第一个通道的，但它比 5 小可以进入第二个通道。到了 9 和 5 是同理，两个通道都不能进入，所以它要进入第三个通道。如此类推，第一个通道{8，4，2，1}，第二个通道{5，3}，第三个通道{9，6}，第四个通道{7}，这样每个通道内都是递减，在出去时，第三个通道的 9 第一个出去，紧接着是第一个通道的8，第四个通道的7，这样就可以做到出去顺序是递减的。

这时候，可以观察到规律了，也就是新的元素，如果可以进入存在的通道中使内部保持递减，那么就进入该通道。但如果真的开数组模拟通道，意味着每次都需要扫描一遍所有通道，在最坏情况下时间复杂度到达 \(n^2\)，显然不行。

继续观察上面的过程，可以发现，后面的数之所以不能进入第一个通道了，是因为第一个通道的最后一个数比较小，而要最佳情况，按原顺序最长能得到长度为4的上升序列，如{2，3，6，7}，这四个元素只能分属不同的通道，意味着最少都要4个通道。

所以，问题转向求最长的上升序列长度，这就是经典DP问题了，使用二分优化，时间复杂度为\(O(nlogn)\)。

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
#include <unordered_map>
#include <unordered_set>
#include <stack>

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair<int, int> PII;

const ll inf = 1e18;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 1e5 + 10;

int n;

void solve()
{
	cin >> n;
	vector<int> a(n);
	for (int i = 0; i < n; i ++) cin >> a[i];
	
	vector<int> dp;
	for (int i = 0; i < n; i ++) {
		int pos = lower_bound(dp.begin(), dp.end(), a[i]) - dp.begin();
		if (pos == dp.size()) dp.emplace_back(a[i]);
		else dp[pos] = a[i];
	}
	cout << dp.size();
}

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr);
	
	int T = 1;
//	cin >> T;
	while (T --) solve();
	return 0;
}