AtCoder Beginner Contest 263 G,Ex

G
如果我们不考虑\(A_{i}=1\)的情况，即不存在\(1+1=2\)这样的数对，那么剩下的质数都是奇数，而奇数+偶数=奇数。所以，若我们从\(i\)连一条边到\(j\)，当且仅当\((A_{i}+A_{j})\)是质数，那么最后形成的图一定是二分图，（所有\(A_{i}\)为奇数的\(i\)在一侧，所有\(A_{i}\)为偶数的在另一侧）跑网络流就可以了。（注意这里同一类数不止一个，所以\(S\)连向\(i\)和\(i\)连向\(T\)的边流量限制为\(b_{i}\)而不是\(1\)）

那么现在如果有一个\(i\)，满足\(A_{i}=1\)，我们假设当前它自己和自己匹配了\(k\)对（\(0\leq k\leq \lfloor \frac{B_{i}}{2}\rfloor\)），那么将剩下的\(B_{i}-2k\)加入网络流中，假设当前最大流为\(maxflow\)，那么我们总共匹配了\(f(k)=(maxflow+k)\)个数对。我们证明，\(f(k)\)是单峰的。

感性理解：
假设我们从\(A_{i}=1\)的点\(i\)向对面连去一些边\((i,to_{p})\)，那么最优方案中这些边有的被选择了，有的没有。那么我们一开始肯定将没有匹配的（剩下的）\(1\)，自己和自己匹配，这样能使答案加上\(1\)；直到最后我们就会选择一些已经考虑的配对，那么此时我们要将两个已经配对的边拆散，组成一个新的配对的边——比如原本我们匹配了\((1,4)\)和\((1,6)\)两个数对，那么我们现在拆散它们，组成\((1,1)\)这样新的一个，容易发现，这样会使答案减少\(1\)。故我们这个函数一定是一直向上升，到某个最高点后开始向下降。

那么我们三分，计算\(f(k=p1,p2)\)时的值即可。

https://atcoder.jp/contests/abc263/submissions/33863883

Ex
不难想到要先二分答案\(r\)，之后问题转化成求有多少个交点在半径为\(r\)的圆内部。

发现一个结论：
在任意一处破环成链，将所有直线和圆的交点按照顺时针顺序离散化。如果离散化后，直线\(l1\)和圆的交点位置为\(P1,P2\)，\(l2\)和圆的交点为\(P3,P4\)。那么\(l1\)和\(l2\)的交点在圆的内部，当且仅当\(P1\leq P3\leq P2\leq P4\)。

这样我们可以用线段树统计，具体实现见代码：

https://atcoder.jp/contests/abc263/submissions/33884586

说一点细节（这些细节让我调了很久）：

1. 实数二分尽量采用迭代若干次的方法，不要用while，否则eps设的太低容易死循环。
2. 发现答案最大值不会超过\(3\times 10^6\)，所以二分上界可以开小一点。
3. 答案对精度要求不是很高，那么我们可以降低迭代次数优化时间复杂度。（计算几何常数是真的大）
4. 记得count每次要清空所有的数组！
5. 由于每个点与圆有两个交点，那么线段树的空间不能只开到maxn的四倍，要开到8倍！