关于Kruskal生成树的一些小证明

证明最小生成树一定是Kruskal生成树
证：假设存在最小生成树T不是Kruskal生成树，
则根据长度将边分组后，必定存在一些长度组，其中T与Kruskal生成树连通性不相同。
不妨设边长最小的一组其中所有边的边长均为L，则根据Kruskal生成树的贪心机制可知：
Kruskal生成树在前L组比T更连通。
此时只需要向T中补充一部分边长为L的边，直到其前L组与Kruskal生成树的连通性一致，
不难看出补充后T会出现一部分边与长度大于L的边成环，
通过删除这些成环的边中长度大于L的边，即可构造出一棵比T更小的生成树，
故最小生成树一定是Kruskal生成树。

证明Kruskal生成树一定是最小生成树
证：易知所有Kruskal生成树都一样大，并且连通性相同。
故只要有一棵Kruskal生成树为最小生成树，则所有Kruskal生成树都为最小生成树。
而由于最小生成树一定是Kruskal生成树，所以存在Kruskal生成树为最小生成树，
即所有Kruskal生成树都为最小生成树。

证明最小生成树一定是瓶颈生成树。
证：假设存在一棵瓶颈生成树T的最长组比Kruskal生成树的最长组更短，
则根据长度将边分组后，必定存在一些长度组，其中T与Kruskal生成树连通性不相同。
不妨设边长最小的一组其中所有边的边长均为L，
由Kruskal生成树的最连通性可知，Kruskal生成树在前L组比T更连通通。
此时只需要向T中补充一部分边长为L的边，直到其前L组与Kruskal生成树的连通性一致，
不难看出补充后T会出现一部分边与长度大于L的边成环，假设其中最短的边长度为L'，
再向T中补充一部分边长为L的边，直到其前L'组与Kruskal生成树的连通性一致，
此时T又有可能成环，故重复之后，T的每一组都和Kruskal生成树一致，且其“瓶颈”的性质不变，
故此时的T即为Kruskal生成树，
结合Kruskal生成树一定是最小生成树可知，最小生成树一定是瓶颈生成树。