[POJ 2096]Collecting Bugs

Description

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给你一个 $n\times m$ 的网格图。随机在这 $n\times m$ 个网格图中选一个没选过的。问期望几次能够使每行每列都被选过。

$1\leq n,m\leq 1000$

Solution

显然每次选，只会有 $4$ 种情况：

1. 该行和该列都没被选过；
2. 该列被选过，该行没被选过；
3. 该行被选过，该列没被选过；
4. 该行和该列都被选过

我们记 $f_{i,j}$ 为已经选出了 $i$ 行， $j$ 列，还期望 $f_{i,j}$ 次取完。

初始状态 $f_{n,m}=0$ ，即 $n$ 行 $m$ 列均取完了，还期望 $0$ 次取完。

我们来考虑上述情况。

我们记 $p_1,p_2,p_3,p_4$ 分别为上述情况的概率，这个很容易由乘法原理得出。

显然我们有 $f_{i,j}=p_1f_{i+1,j+1}+p_2f_{i+1,j}+p_3f_{i,j+1}+p_4f_{i,j}+1$

显然 $f_{i,j}=\frac{p_1f_{i+1,j+1}+p_2f_{i+1,j}+p_3f_{i,j+1}+1}{1-p_4}$ ，可以把概率的式子带进去化简优化精度。

Code

//It is made by Awson on 2018.2.24
#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define dob complex<double>
#define Abs(a) ((a) < 0 ? (-(a)) : (a))
#define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
#define Swap(a, b) ((a) ^= (b), (b) ^= (a), (a) ^= (b))
#define writeln(x) (write(x), putchar('\n'))
#define lowbit(x) ((x)&(-(x)))
using namespace std;
const int N = 1000;
void read(int &x) {
    char ch; bool flag = 0;
    for (ch = getchar(); !isdigit(ch) && ((flag |= (ch == '-')) || 1); ch = getchar());
    for (x = 0; isdigit(ch); x = (x<<1)+(x<<3)+ch-48, ch = getchar());
    x *= 1-2*flag;
}
void print(LL x) {if (x > 9) print(x/10); putchar(x%10+48); }
void write(LL x) {if (x < 0) putchar('-'); print(Abs(x)); }

int n, m;
double f[N+5][N+5];

void work() {
    read(n), read(m);
    for (int i = n; i >= 0; i--)
    for (int j = m; j >= 0; j--) {
        if (i == n && j == m) continue;
        double p1 = (n-i)*(m-j), p2 = (n-i)*j, p3 = (m-j)*i, p4 = i*j;
        f[i][j] = (1.*n*m+p1*f[i+1][j+1]+p2*f[i+1][j]+p3*f[i][j+1])/(1.*n*m-p4);
    }
    printf("%.4lf", f[0][0]);
}
int main() {
    work(); return 0;
}