03 2018 档案
摘要：写在前面 由于上一篇总结的版面限制，特开此文来记录 \(\text{OI}\) 中多项式类数学相关的问题。 该文启发于Miskcoo的博客，甚至一些地方直接引用，在此特别说明；若文章中出现错误，烦请告知。 感谢你的造访。 前置技能 多项式相关 形同 \(P(X)=a_0+a_1X+a_2X^2+\c
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摘要：Description "题库链接" 给你一个 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图，求其补图的连通块个数及各个连通块大小。 $1\leq n,m\leq 200000$ Solution 参考了 "ww140142" 的做法。题解也转自该博客。 每次枚举一个未处理过的点，然后从它开始宽搜出它所在的连
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摘要：Description "题库链接" 一条直线上有 $n$ 棵树，每棵树上有 $c_i$ 只鸟，在一棵树底下召唤一只鸟的魔法代价是 $cost_i$ 每召唤一只鸟，魔法上限会增加 $B$ 。从一棵树走到另一棵树，会增加魔法 $X$ ，一开始的魔法和魔法上限都是 $W$ 。问最多能够召唤的鸟的个数。
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摘要：Description "题库链接" 给你一个长度为 $n$ 的 $01$ 序列。初始全为 $1$ ，让你兹磁 $m$ 次操作：将区间内的各个数取反，并询问整个区间的 $1$ 的个数。 $1\leq n\leq 10^9,1\leq m\leq 3\cdot 10^5$ Solution 可以将所有
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摘要：Description "题库链接" 给你 $n$ 个节点，让你兹磁以下操作，维护一棵树： 1. 动态加边； 2. 修改点权； 3. 询问路径上点权和。 $1\leq n\leq 30000$ Solution 好久不打 $lct$ 了，水一发。 $lct$ 板子题。 ~~好像 $lct$ 的题都是
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摘要：Description "题库链接" 给出 $n$ ，分别求 $\leq n$ 和 $\leq 2^n$ 的满足方程 $$x\oplus 3x=2x$$ 的正整数解个数。 $1\leq n\leq 10^{18}$ Solution 显然满足 $x\oplus 2x=3x$ 即要满足 $x\&(x
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摘要：Description 题库链接 给出 \(n\) 个村庄的横坐标 \(D_i\) 。要求在这 \(n\) 个村庄内最多选择 \(m\) 个作为通讯基站，在村庄 \(i\) 建造通讯基站的代价为 \(C_i\) 。对于村庄 \(i\) ，如果其左右距离超过 \(S_i\) 都没有通讯基站，那么需要额
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摘要：Description "题库链接" 给出四个字符串 $T,A,B,C$ ，问你至少在 $T$ 串中删去几个单词能使得 $T$ 串变为 $A?B?C$ 的形式，其中 $?$ 表示任意多的单词，可以为空。 $1\leq |T|,|A|,|B|,|C|\leq 50000$ 。 Solution 首先注
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摘要：Description "题库链接" 给你两个字符串 $S$ 和 $T$ ，准许你 $k$ 次操作，每次将字符串左右分成两个非空的部分，再交换位置，问你有多少种不同的操作方法将 $S$ 串变为 $T$ 串。 $1\leq k\leq 100000, 1\leq |S|=|T|\leq 1000$ S
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摘要：Description "题库链接" 求不定方程 $x_1+x_2+\cdots +x_n=m$ 的正整数解的个数，并且要求满足限定： $\forall i\in[1,n_1] x_i\leq a_i,\forall i\in[1,n_2] x_{n_1+i}\geq a_{n_1+i}$ 。对 $
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摘要：Description "题库链接" 在改变原串 $S$ 最多 $K$ 个字母的前提下，使得 $S$ 和 $S$ 的反串的 $LCS$ 尽量长，问最长长度。 $1\leq K\leq |S|\leq 300$ Solution 一个结论是字符串的最长回文子序列（ $lps$ ）长度等于其自身与反转的
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摘要：Description 题库链接 给出一个长度为 \(n\) 的序列 \(A\) 。如果序列 \(A\) 不是非降的，你必须从中删去一个数，这一操作，直到 \(A\) 非降为止。求有多少种不同的操作方案，答案模 $10^9+7$ 。 $1\leq n\leq 2000$ Solution 显然对于
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摘要：Description "题库链接" 给出一个 $1\times n$ 的棋盘，棋盘上有 $k$ 个棋子，一半是黑色，一半是白色。最左边是白色棋子，最右边是黑色棋子，相邻的棋子颜色不同。 小 $A$ 可以移动白色棋子，小 $B$ 可以移动黑色的棋子，他们每次操作可以移动 $1\sim d$ 个棋子。
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摘要：Description "题库链接" 询问有多少个 $1\sim N$ 的排列 $P$ 满足“ $\forall i\in[2,N], P_i P_{\frac{i}{2}}$ ” 。对质数 $P$ 取模。 $1\leq N\leq 1000000,1\leq P\leq 10^9$ Solutio
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摘要：Description "题库链接" "题面链接" Solution 这里给出主席树的版本。主席树维护直线的一个端点在前 $i$ 个端点中，另一个端点在区间内的个数。 Code cpp //It is made by Awson on 2018.3.21 include define LL long
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摘要：Description "题库链接" （按我的语文水平完全无 fa♂ 概括题意，找了 "hahalidaxin" 的题意简述... 有 $AB$ 两种货币，每天可以可以付 $IP_i$ 元，买到 $A$ 券和 $B$ 券，且 $A:B=Rate_i$ ，也可以卖掉 $OP_i\%$ 的 $A$ 券和
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摘要：Description "题库链接" 将一个长度为 $n$ 的正整数序列分为 $m$ 段，问你这 $m$ 段最小的方差 $v$ 为多少。输出 $v\times m^2$ 。 $1\leq n\leq 3000$ Solution 容易发现答案就是： $$m^2\frac{\sum\limits_{i
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摘要：Description "题库链接" 给你 $n$ 个单词， $m$ 组询问，每组询问形同 $(x,y)$ ，询问 $x$ 串在 $y$ 串中出现多少次。 $1\leq n,m\leq10^5$ Solution 比较暴力的做法就是建好 $AC$ 自动机后，对于每个 $y$ 串暴力跑一遍。看看查询的
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摘要：Description "题库链接" 给你一张 $N\times M$ 的棋盘。要求每行每列最多放两个棋子，问总方案数。 $1\leq N,M\leq 100$ Solution 记 $f_{i,j,k}$ 为前 $i$ 行还剩 $j$ 行可以放 $1$ 个棋子， $k$ 行放两个棋子的方案数。组合
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摘要：Description "题库链接" 定义 $A$ 串为 $B$ 串的循环串，当且仅当 $A$ 是 $B$ 的前缀（不包括 $B$ 本身），且 $B$ 为连续的 $A$ 串拼接的字符串的前缀。给出一个长度为 $n$ 字符串，求它的所有前缀（包括本身）的最长循环串的长度之和。 $1\leq n\leq
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摘要：Description "题库链接" 给你张 $n$ 个点 $m$ 条边的连通无向图。 $q$ 次操作，让你支持： 1. 询问可以出现在两点之间的简单路路径上的点的最小权值； 2. 修改某个点的点权。 $1\leq n, m, q\leq 10^5$ Solution 显然在路径上如果存在一个点双，
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摘要：Description "题库链接" 给你一个 $n$ 条边的无向图。让你在图中标记一些关键点，使得去掉图中任意一个点后，其余的所有点都能与至少一个关键点联通。问最少标点数以及点最少的前提下的方案数。 $1\leq n\leq 500$ Solution 显然的结论就是找到所有点双后。讨论每个点双含
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摘要：Description "题库链接" 记一个字符串为 $X$ ，它的倒置为 $X^R$ 。现在给你一个长度为 $n$ 的字符串 $S$ ，询问其最长的形同 $XX^RXX^R$ 的子串长度为多少。 $1\leq n\leq 500000$ Solution 显然求回文之类的东西还是要 $manach
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摘要：Description "题库链接" 给定一个初始长度为 $N$ 的非负整数序列 $\{A\}$ 。有 $M$ 个操作，支持： 1. $A~x$ ：添加操作，表示在序列末尾添加一个数 $x$ ，序列的长度 $N+1$ 。 2. $Q~l~r~x$ ：询问操作，求 $$\max_{l\leq p\le
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摘要：Description "题库链接" 对于 $N$ 个整数 $0, 1, \cdots, N 1$ ，一个变换序列 $T$ 可以将 $i$ 变成 $T_i$ ，其中 $T_i \in \{ 0,1,\cdots, N 1\}$ 且 $\bigcup_{i=0}^{N 1} \{T_i\} = \{0
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摘要：Description "题库链接" 给你 $n$ 个节点，初始 $m$ 条边， $t$ 组操作。让你支持： 1. 询问树上路径点权 $K$ 小； 2. 支持加边操作。 强制在线，所有状态保证是一个树（森林）。 $1\leq n,m,t\leq 8\cdot 10^4$ Solution 分别考虑这
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摘要：Description "题库链接" $t$ 组询问。每组询问给出一个字符串 $S$ 。要求求出一个 $num$ 数组一一对于字符串 $S$ 的前 $i$ 个字符构成的子串，既是它的后缀同时又是它的前缀，并且该后缀与该前缀不重叠，将这种字符串的数量记作 $num_i$ 。输出 $\prod\limi
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摘要：Description "题库链接" 问你长度为 $n$ 的可含前导零的数字串中，不含长度为 $m$ 的子串 $X$ 有多少个，取模。 $1\leq n\leq 10^9,1\leq m\leq 20$ Solution 一个显然的 $DP$ ，就是令 $f_{i,j}$ 表示已经生成出的串长为 $
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摘要：Description "题库链接" 两个人 Van♂ 游戏。给出 $n$ 个正整数 $a_i$ 。两人轮流操作，每次选出一个素数 $p$ 和一个幂数 $k$ ，选择的前提为该 $n$ 个数中有 $p^k$ 的倍数。接着将所有的 $p^k$ 的倍数除以 $p^k$ 。变成新的序列，继续操作。不能操作
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摘要：Description "题库链接" 给出平面上 $n$ 个点，选出四个点作为矩形顶点。求出矩形最大面积。 $1\leq n\leq 1500$ Solution 转载自 "Z Y Y S dark♂菜鸡" 两条线段能作于矩形的对角线有 $2$ 个条件： 1. 中点相同 2. 长度相同 于是 $O(
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摘要：Description "题库链接" 定义 $F(x)$ 为 $F(x 1)$ 与 $F(x 2)$ 的连接（其中 $F(0) = "0",F(1) = "1"$ ）。给出一个长度为 $n$ 的 $01$ 字符串 $s$ ，询问 $s$ 在 $F(x)$ 的所有子序列中出现了多少次。 $1\leq
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摘要：Description "题库链接" 给你一个长度为 $n$ 的序列 $A$ 。现在准许你删除任意一个数，删除之后需要修改最小的次数使序列单调递增。问最小次数。 $1\leq n\leq 200000$ Solution 注意到如果不要删除一个数的话，显然这就是一个模型问题了。只需要求出序列中每个数
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摘要：Description "题库链接" 维护一个序列 $A$ 。支持以下操作： 1. $X~Y$ 将序列中所有的 $X$ 变成 $Y$ ； 2. 询问序列颜色段数。 $1\leq n,m\leq 100000,0 define LL long long define dob complex defin
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摘要：Description "题库链接" 有 $N$ 个车站， $K$ 条公交线路。第 $1$ 到 $K$ 站是这 $K$ 线路的起点站。第 $N K+1$ 到 $N$ 是终点站。车只会从编号小的车站驶向编号大的车站。 要求每个车站恰好只属于一个线路，而且同一个线路相临两站距离不得大于 $P$ 。求有多
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摘要：Description "题库链接" 给出 $T$ 个 $N$ 个节点 $M$ 条边的无向图（无重边自环），并给出它们各自的哈密顿回路。分别判断每个图是否是平面图。 $T\leq 100,3\leq N\leq 200,M\leq 10000$ Solution 考虑一个带哈密顿回路的无向图，如果它
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摘要：Description "题库链接" 对于一个包含 $N$ 个整数的数列 $A$ ，我们可以把它的所有元素加入一个双头队列 $B$ 。 首先 $A_1$ 作为队列的唯一元素，然后依次加入 $A_2\sim A_N$ ，如果 $A_i define LL long long define dob co
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摘要：Description "题库链接" 给你一个 $N\times M$ 的 $01$ 矩阵，你可以从中将一些 $1$ 变为 $0$ ，最多 $K$ 次。使操作之后使得每行最远的 $1$ 间距和最小。输出最小值。 $1\leq N,M,K\leq 500$ Solution 显然可以预处理一个数组 $
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摘要：Description "题库链接" 给你四个数 $N,K,M,P$ ，让你生成一段长度为 $K$ 严格单调递增序列，并且满足： 1. 第一位可以为任意元素； 2. 相邻两位的差值不超过 $M$ ； 3. 序列中元素大小不超过 $N$ 。 求满足上述要求不同的生成序列有多少个，对 $P$ 取模。 $
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摘要：Description "题库链接" 对于任意一个正整数 $n$ ，求出集合 $\{1,2,\cdots,n\}$ 的满足约束条件“若 $x$ 在该子集中，则 $2x$ 和 $3x$ 不能在该子集中”的子集的个数。 $n\leq 100000$ Solution 容易发现对于每一个与 $2,3$ 互
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摘要：Description "题库链接" $T$ 组询问，每组询问给你个 $2\times N$ 的带权二分图，两个权值 $a,b$ ，让你做匹配使得 $$\sum a\times \sum b$$ 最小。 $N\leq 70,T\leq 3$ Solution 容易发现就是 "[COGS 2401]T
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摘要：Description "题库链接" 给你个 $2\times N$ 的带权二分图，两个权值 $a,b$ ，让你做匹配使得 $$\frac{\sum a}{\sum b}$$ 最大。 $1\leq N\leq 100$ Solution 依旧是 $01$ 分数规划的套路。我们二分答案 $mid$ ，
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摘要：Description "题库链接" 求 $2\times N$ 个点的带权二分图最佳匹配。 $1\leq N\leq 20$ Solution 我还是太菜了啊...到现在才学 $KM$ 。 Code cpp //It is made by Awson on 2018.3.8 include def
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摘要：Description "题库链接" 给你 $n$ 个节点 $m$ 条边的无向连通图。每条边有两个权值 $c,t$ ，要你生成一棵边集为 $\mathbb{E}$ 的生成树使得 $$\sum_{e\in \mathbb{E}}e_c \times \sum_{e\in \mathbb{E}}e_t$
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摘要：Description "题库链接" 给你指定一个数 $f$ ，并给你 $T$ 组游戏，每组有 $n$ 堆石子， $A,B$ 两人轮流对石子进行操作，每次你可以选择其中任意一堆数量不小于 $f$ 的石子，平均分为 $m$ 份（即保证最大的一堆和最小的一堆中石子数量之差不超过 $1$ ）。不能操作者负
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摘要：Description "题库链接" 两人抛硬币一人 $a$ 次，一人 $b$ 次。记正面朝上多的为胜。问抛出 $a$ 次的人胜出的方案数。 $1\le a,b\le 10^{15},b\le a\le b+10000,1\le k\le 9$ Solution ~~比较难，不会写，代码都是抄题解的
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摘要：Description "题库链接" 给你一段长度为 $n$ 的序列 $K$ 。 $m$ 组询问，每次给定左右端点 $l,r$ 。求出满足区间内下述贡献和。 1. 如果一个区间的两个端点是这一个区间的最大与次大值，那么将获得 $p_1$ 的价值； 2. 如果一个区间的一个端点是最大值，而另一个端点不
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摘要：Description "题库链接" 给你一棵 $N$ 个节点根节点为 $1$ 的有根树，结点的编号为 $1\sim N$ ；我们称这颗树为模板树。需要通过这棵模板树来构建一颗大树。构建过程如下： 1. 将模板树复制为初始的大树； 2. 以下 2.1 2.2 2.3 步循环执行 $M$ 次： 2.1
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摘要：Description "题库链接" 在集合 $S=\{1,2,...,n\}$ 中选出 $m$ 个子集，满足三点性质： 1. 所有选出的 $m$ 个子集都不能为空。 2. 所有选出的 $m$ 个子集中，不能存在两个完全一样的集合。 3. 所有选出的 $m$ 个子集中， $1$ 到 $n$ 每个元素
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摘要：Description "题库链接" 给你一个长度为 $n$ 的序列 $A$ 。 $m$ 组询问 $(b,x,l,r)$ 询问 $$\max_{i=l}^r b\oplus (A_i+x)$$ $1\leq n\leq 2\cdot 10^5,1\leq m,A_i,b,x\leq 10^5$ So
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摘要：Description "题库链接" 给定一棵有 $n$ 个节点的无根树和 $m$ 个操作，操作有 $2$ 类： 1. 将节点 $a$ 到节点 $b$ 路径上所有点都染成颜色 $c$ ； 2. 询问节点 $a$ 到节点 $b$ 路径上的颜色段数量（连续相同颜色被认为是同一段） Solution 线段
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摘要：Description "题库链接" 给定一张 $N$ 个顶点 $M$ 条边的无向图（顶点编号为 $1,2,\cdots,n$ ），每条边上带有权值。所有权值都可以分解成 $2^a\times 3^b$ 的形式。 $q$ 个询问，每次询问给定四个参数 $u,v,a,b$ ，请你求出是否存在一条顶点
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摘要：Description "题库链接" 一个无向连通图，顶点从 $1$ 编号到 $N$ ，边从 $1$ 编号到 $M$ 。 小Z在该图上进行随机游走，初始时小Z在 $1$ 号顶点，每一步小Z以相等的概率随机选择当前顶点的某条边，沿着这条边走到下一个顶点，获得等于这条边的编号的分数。当小Z到达 $N$
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摘要：Description "题库链接" 有 $n$ 根木棍，第 $i$ 根木棍的长度为 $L_i$ ， $n$ 根木棍依次连结了一起，总共有 $n 1$ 个连接处。现在允许你最多砍断 $m$ 个连接处，砍完后 $n$ 根木棍被分成了很多段，要求满足总长度最大的一段长度最小，并且输出有多少种砍的方法使得
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摘要：Description "题库链接" 在一个 $2$ 维平面上有两条传送带，每一条传送带可以看成是一条线段。两条传送带分别为线段 $AB$ 和线段 $CD$ 。在 $AB$ 上的移动速度为 $P$ ，在 $CD$ 上的移动速度为 $Q$ ，在平面上的移动速度 $R$ 。现在从 $A$ 点走到 $D$
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摘要：Description "题库链接" 给出一张 $n$ 个点 $m$ 条边有向图，询问最多有多少条不同的路径从 $1$ 到 $n$ 并且路径长度和 $\leq E$ 。 $2\leq n\leq 5000,1\leq m\leq 200000,1\leq E\leq 10^7$ Solution 由
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