不等式抽象题

已知 \(x,y,z\) 为整数，求证：

\[1<\sqrt{\dfrac{y}{2x+y}}+\sqrt{\dfrac{z}{2y+z}}+\sqrt{\dfrac{x}{2z+x}}<2 \]

证：

先看 \(1 < \sqrt{\dfrac{y}{2x+y}}+\sqrt{\dfrac{z}{2y+z}}+\sqrt{\dfrac{x}{2z+x}}\) ：

原式 \(\ge\dfrac{(\sqrt x+\sqrt y + \sqrt z)^2}{\sum\limits_{cyc}\sqrt{y(2x+y)}}\)，则只需证 \((\sqrt x+\sqrt y+\sqrt z)^2>\sum\limits_{cyc}\sqrt{y(2x+y)}\) 即可。

\({\Leftrightarrow y+2\sqrt{xy} > \sqrt{y(2x+y)}}\)

两边平方 \(\Leftrightarrow y^2+4y\sqrt{xy}+4zy>y(2x+y)\)

\(\Leftrightarrow RHS-LHS=2xy+4y\sqrt{xy}>0\)

\(\therefore y+2\sqrt{xy} > \sqrt{y(2x+y)}\) 成立，同理 \(z+2\sqrt{yz} > \sqrt{z(2y+z)}, x+2\sqrt{xz} > \sqrt{x(2z+yx}\)

三式相加，\((\sqrt x+\sqrt y+\sqrt z)^2>\sum\limits_{cyc}\sqrt{y(2x+y)}\) 得证。

\(\therefore \sqrt{\dfrac{y}{2x+y}}+\sqrt{\dfrac{z}{2y+z}}+\sqrt{\dfrac{x}{2z+x}}\ge\dfrac{(\sqrt x+\sqrt y + \sqrt z)^2}{\sum\limits_{cyc}\sqrt{y(2x+y)}}>1\)

再看 \(\sqrt{\dfrac{y}{2x+y}}+\sqrt{\dfrac{z}{2y+z}}+\sqrt{\dfrac{x}{2z+x}} < 2\) ：

\(\sum\sqrt{\dfrac{y}{2x+y}}=\sum\sqrt{\dfrac{1}{2\frac{x}{y}+1}}\)，令 \((\dfrac xy,\dfrac yz,\dfrac zx)\rightarrow(a,b,c)\)

\(\Leftrightarrow \sum\sqrt{\dfrac{1}{2a+1}}<2,abc=1\)，令 \((a,b,c)\rightarrow(e^s,e^t,e^u)\)。

\(\Leftrightarrow \sum\sqrt{\dfrac 1{2e^s+1}}<2,s+t+u=0\)，令 \(g(x)=\sqrt {\dfrac {1}{2e^x+1}}\)，易知 \(g(x)\) 在 \(\mathbb R\) 上单调递减。

现在分 \(2\) 种情况讨论。

\(1^{\circ} s\le t\le 0\le u\)

则 \(g(x)\) 在 \(x < 0\) 上凸。

\(\Rightarrow g(s)+g(t)\le 2g(\dfrac{s+t}2)\)，令 \(h(x)=2g(\dfrac x2)+g(-x)=2\sqrt{\dfrac{1}{2e^{\frac{x}{2}}+1}}+\sqrt{\dfrac{1}{2e^{-x}+1}}\)。

\(h'(x)=\dfrac{e^{-x}}{(2e^{-x}+1)^{\frac 32}}-\dfrac{e^{\frac{x}{2}}}{(2e^{\frac x2}+1)^{\frac 32}}\)，令 \(f(x)=\dfrac{e^x}{(2e^{x}+1)^{\frac 32}}\)，则 \(h'(x)=f(-x)-f(\dfrac x2)\)。

易知 当 \(x > 0\) 时，\(f(x) > f(-x)\)。

若 \(x < 0,\Leftrightarrow \dfrac{f(-x)}{f(\frac x2)} \le \dfrac{f(-x)}{f(x)}\)，又 \(\because f(-x) > f(x),\therefore \dfrac{f(-x)}{f(\frac x2)} < 1\)，即 \(h'(x)=f(-x)-f(\frac x2) < 0\)。

若 \(x > 0,h'(x)=f(-x)-f(\dfrac x2) < f(-\dfrac x2) - f(\dfrac x2) < 0\)。

综上，\(h'(x) < 0\)。

所以 \(h(x)\) 在 \(\mathbb R\) 上单调递减。

在 \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{1}{2e^{\frac x2}+1}\) 中，\(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} e^{\frac x2} = 0\)

\(\therefore \lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{1}{2e^{\frac x2}+1} = 1,\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} 2\sqrt{\dfrac{1}{2e^{\frac x2}+1}}=2\)。

\(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{1}{2e^{-x}+1}=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{e^x}{2+e^x}=\dfrac{0}{0+2}=0\)

\(\therefore \lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\sqrt{\dfrac{1}{2e^{-x}+1}}=0\)

\(\therefore \lim\limits_{x\rightarrow -\infty}h(x)=2+0=2\)

\(\therefore \sum\limits_{cyc} g(s)\le h(x) < 2\)

\(2^{\circ} s \le 0 \le t \le u\)

则 \(g(t) + g(u) = g(t) + g(-s-t)\)。

\(\Rightarrow g(s)+g(t)+g(u)\)

\(=g(s)+g(t)+g(-s-t)\)

\(<g(s)+g(0)+g(-s)\)

\(=\sqrt{\dfrac 13}+\sqrt{\dfrac{1}{2e^{-x} + 1}}+\sqrt{\dfrac{1}{2e^{x} + 1}} < 2\)

所以 \(\sqrt{\dfrac{y}{2x+y}}+\sqrt{\dfrac{z}{2y+z}}+\sqrt{\dfrac{x}{2z+x}} < 2\) 成立。

综上所述，

\[1<\sqrt{\dfrac{y}{2x+y}}+\sqrt{\dfrac{z}{2y+z}}+\sqrt{\dfrac{x}{2z+x}}<2 \]