动态规划进阶一

动态规划dp（Dynamic Programming）

基本思想：是通过类似分治的方法，将一个人问题分解成多个阶段求解，每一个决策都依赖于当前的状态，决策过后问题又发生转移，通过多步转移方式求解的过程就叫做动态规划。

适用于动态规划的问题应具有的性质：

（1）最优化原理：如果问题的最优解包括子问题的最优解，那么问题的子问题解也是最优解，类似与贪心算法，从局部最优到整体最优；

（2）无后效性：某一个状态一旦确定，将不受该状态以后的状态影响，只与当前状态有关，既无后效性；

（3）有重叠子问题：子问题間不獨立，一個子問題在一個階段會多次調用；

求問題的基本步驟：

動態規劃處理的都是多個狀態的問題，那麼先從一個問題入手

現在有3中硬幣面值為1,3,5，現在要用這三種硬幣湊成11，問所需的硬幣最少為多少？

對於這個問題我們先從最簡單的分析：當i=0即我們需要多少枚硬幣湊夠0元，當然在所有的硬幣中沒有比1更小的，所以為0個，我們用符號記錄下來方便分析，即f(0)=0,那麼當i=1時，因為滿足的只有1元的硬幣，所以我們拿起一枚面值為一的硬幣，然後加上能組成0元的方法，然而這個我們已經知道了，所以f(1)=f(1-1)+1=1,同理那麼當i=2時，f(2)=f(2-1)+1=2,但是當i=3時候就不是這個狀態了，這時候我們要考慮面值為3的硬幣了，所以就分為兩種情況，f(3)=f(3-1)+1=f(2)+1=3,第二種方式f(3)=f(3-3)+1=f(0)+1=1 ，當i=3的兩種選擇解釋為，當我拿起一枚1元的硬幣那麼我需要在加上湊成兩元的硬幣那麼就是當前的方式，第二組我直接拿起面值為3的硬幣 那么只需要湊成0元的就是當前的方式,題目要求選取最小的組成，所以f(3)=1，所以得到的狀態轉移方程為f(i)=min(f(i-vi)+1),所謂的狀態轉移就是將一個大問題轉化為多個子問題解決，求子問題的最優解得到問題的最優解；

偽代碼：

for（ i=1–S）

for( j=0–n-1)

if( v<i and  f(i)=min( f(i-v)+1,f(i) ) )

其實這就是一維背包的算法。