最小生成树

忘了具体什么时候写的，应该是 2023.8 初

这算是个算法复习，因为我太菜了以前学的都不会了。

最小生成树

Prim

本质就是一个点去更新它的所有边连接的点，因为最小生成树的本质是形成一个 \(n-1\) 条边的联通图，所以我们需要达成两个条件：

• 所有点都联通
• 每个点选的边尽可能小

所以我们就可以考虑贪心，我们假设 \(1\) 号节点是开始位置，最终所有的点都要和它联通，我们令 \(dis_i\) 表示 \(i\) 点被联通所需要的最小代价，然后从 \(dis\) 最小的 \(i\) 开始更新（一开始是从 \(1\) 开始，\(dis_1=0\)），然后把每个 \(dis\) 更新并且加到优先队列里（优先队列维护最小 \(dis\)）。

是不是很像 \(dijkstra\)，其实用到的贪心思路都差不多，就是用每次用当前得到的最优解去更新其他点的答案，最后得到全局的答案。

所以我们就得到了一个跟 \(Dijkstra\) 长得非常像并且复杂度比较稳定在（\(O(n\log n)\)）的代码：

\(Code\)

//Prim O(n log n)
typedef pair<int,int> PII;
int n,m,dis[5002],ans,cnt;
bool vis[5002];
vector<PII>f[5002];
priority_queue<PII>Q;
int main(){
    n=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u=read(),v=read(),w=read();
        f[u].push_back({v,w});
        f[v].push_back({u,w});
    }
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    Q.push({(dis[1]=0),1});
    while(!Q.empty()&&cnt<n){
        int x=Q.top().second;Q.pop();
        if(vis[x])continue;
        vis[x]=1;
        cnt++,ans+=dis[x];
        for(PII PI:f[x]){
            int y=PI.first,w=PI.second;
            if(dis[y]>w)dis[y]=w,Q.push({-w,y});
        }
    }    
    if(cnt!=n)puts("orz");
    else printf("%d",ans);
}

Kruskal

本质也是和 \(Prim\) 一样，找尽可能最小边，我们发现最小的边如果可以连接两个不同的连通块，那么一定会被选。假设我们不选，此时我们用另外一条比较大的边连接这两个连通块，答案肯定不是最优的。

当然加边之前还得确认两个点不在一个连通块内，用并查集维护即可。

极限最优复杂度 \(O(m\log m\alpha(n))\)。（O(\(\alpha(n)\)) 是并查集复杂度）

按理来说应该不会比我的 \(Prim\) 快，但是可能是有小优化，居然跑飞快。

\(Code\)

//Kruskal O(m\log m \log n)
struct edge{
    int u,v,w;
    inline bool operator <(const edge &o)const{
        return w>o.w;
    }
};
int n,m,fa[5002],ans,cnt=1;
priority_queue<edge>Q;
inline int find(int x){return (x==fa[x]?x:(fa[x]=find(fa[x])));}
int main(){
    n=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u=read(),v=read(),w=read();
        Q.push({u,v,w});
    }
    while(!Q.empty()&&cnt<n){
        int u=Q.top().u,v=Q.top().v,w=Q.top().w;
        Q.pop();
        if(find(u)==find(v))continue;
        cnt++,ans+=w;
        fa[find(u)]=find(v);
    }
    if(cnt!=n)puts("orz");
    else printf("%d",ans);
}