CF1103C 题解

2023-09-05 14:52:07 solution

找路径很好找，我们随便跑个 dfs 树找个深度 \(\ge \frac{n}{k}\) 的路径输出即可。

可是怎么找 \(k\) 个长度不是 \(3\) 的倍数的环呢？既然我们跑了 dfs 树，那么就没有横叉边，对于叶子节点非树边只有返祖边，然后一看这个很奇怪的条件——保证每个点度数大于等于 3，那岂不是叶子节点可以至少构成两个环？加上两个返祖边构成的环，一共有三个环？我们假设两个祖先分别是 \(u,v\)，叶子为 \(x\)，那么三个环的大小分别为 \(dep_u-dep_x+1\)，\(dep_v-dep_x+1\)，\(dep_u-dep_v+2\)，显然必然有至少一个不是 \(3\) 的倍数。

又要求每个环至少有一个点在这 \(k\) 个环里只出现一次，我们不能保证我们连上去的返祖边构成的环不包括原来的节点，但是我们可以保证让一个叶子节点只选一个环。上面已经说了每个叶子节点至少可以搞出一个合法环，那有 \(k\) 个吗？

我们如果找不到路径，说明任意的 \(dep_x<\frac{n}{k}\)，而每个叶子节点跑到根肯定包含了所有点，也就是 \(\sum_{x\in leaf} dep_x\ge n\)（为链时取等），显然个数不可能小于 \(k\)。

所以这时我们直接找每个叶子节点的两条返祖边然后特判即可。因为每个环的大小必然不超过 \(dep_x\)，要输出 \(k\) 个环，那么输出个数不会超过 \(\sum k\times dep_x\le n\)，符合题意。

\(Code\)

typedef long long ll;
const int N=250005;
int n,m,k,dep[N],fa[N];
vector<int>f[N];
bool is_leaf[N];
stack<int>S;
void dfs(int x){
    S.push(x);
    dep[x]=dep[fa[x]]+1;
    for(int y:f[x])
        if(!dep[y])fa[y]=x,is_leaf[x]=1,dfs(y);
    if(dep[x]>=n/k){
        puts("PATH");
        printf("%d\n",dep[x]);
        while(!S.empty())printf("%d ",S.top()),S.pop();
        exit(0);
    }
    S.pop();
}
int main(){
    n=read(),m=read(),k=read();
    for(int i=1,u,v;i<=m;i++)
        f[u=read()].push_back(v=read()),f[v].push_back(u);
    dfs(1);
    puts("CYCLES");
    for(int x=1,w=0;w<k&&x<=n;x++){
        if(is_leaf[x])continue;
        int u=0,v=0;
        for(int y:f[x])
            if(y==fa[x])continue;
            else if(!u)u=y;
            else if(!v)v=y;
            else break;
        if(dep[u]<dep[v])u^=v^=u^=v;
        if((dep[x]-dep[v]+1)%3!=0){
            printf("%d\n",dep[x]-dep[v]+1);
            for(int o=x;o!=fa[v];o=fa[o])printf("%d ",o);
        }else if((dep[x]-dep[u]+1)%3!=0){
            printf("%d\n",dep[x]-dep[u]+1);
            for(int o=x;o!=fa[u];o=fa[o])printf("%d ",o);
        }else{
            printf("%d\n",dep[u]-dep[v]+2);
            for(int o=u;o!=fa[v];o=fa[o])printf("%d ",o);
            printf("%d ",x);
        }
        puts("");
        w++;
    }
    return 0;
}