部分 DP 技巧

决策单调性优化 DP

分治做法

考虑如下转移

\[f_i=\min\{g_j+w(j,i)\} \]

若 \(i\) 的最优决策点满足决策单调性，那么可以分治优化。

考虑分治函数 solve(l,r,x,y) 表示 \(f_l\sim f_r\) 的最优决策点在 \([x,y]\)。设 \(mid=\lfloor \frac{l+r}{2}\rfloor\)，那么可以暴力求出 \(f_{mid}\) 的最优决策点之后向下分治。复杂度显然为 \(O(n\log n)\)

当转移形式如

\[f_i=\min\{f_j+w(j,i)\} \]

分治就需要再套一个 CDQ 了。复杂度双 \(\log\)

二分单调栈/单调队列

用队列维护每个点作为最优决策点的区间，每次用 \(i\) 的最优决策区间覆盖队尾的区间即可。覆盖时需二分，复杂度 \(O(n\log n)\)

CF1603D Artistic Partition

先给 \(c(l,r)\) 预处理后缀和可以做到 \(O(n\sqrt{n})-O(1)\) 查询。接下来的决策单调性是较为易证的。

注意到若 \(2l>r\)，那么 \(c(l,r)\) 一定能取到最小值 \(r-l+1\)，所以当 \(k\) 足够大时，直接输出即可，否则直接连续段 DP+决策单调性优化即可。

CF868F Yet Another Minimization Problem

首先发现这个东西有决策单调性。

考虑代价怎样计算。发现只有区间伸缩时可以做到 \(O(1)\) 计算，于是将其与决策单调性的分治做法相结合即可

CF1832F Zombies

题意等同于要求最大化 \(\sum |I_i\cap J_{p_i}|\)

考虑确定给 \(I\) 确定一个排序方式，使得最优方案下与 \(J_i\) 相匹配的 \(I_i\) 是一个连续区间。只按左右端点排序没有前途，考虑最大化两个区间的交集时两个区间的中点重合，所以 \(I\) 按所有区间的中点排序

朴素 DP 为 \(f_{i,j}\) 表示用 \(j\) 个区间覆盖 \(I_{[1,i]}\) 的最大价值。设 \(w(l,r)\) 为覆盖 \(I_{[l,r]}\) 的最优方案 \([L,R]\)，\(L,R\) 一定和 \(I_{[l,r]}\) 的至少一个端点重合，所以 \([L,R]\) 的总数是 \(O(n)\) 级的。此时复杂度为 \(O(n^3)\)，细思发现 \(w(l-1,r)\leqslant w(l,r)\leqslant w(l,r+1)\)，于是就可以 \(O(n^2)\) 推出了。

DP 优化直接猜有决策单调性，即可做到 \(O(n^2\log n)\)。同时，转移点 \(h_{i,j}\) 满足 \(h_{i-1,j}\leqslant h_{i,j}\leqslant h_{i,j+1}\),所以也可 \(O(n^2)\) 递推做到（复杂度考虑斜线上总量一定）。

Slope trick（斜率维护技巧）

如果一个问题可以模拟费用流，那么它一定具有凸性

大概可以感性理解一下

考虑如下问题：

给定序列 \(a\)，要求 \(b\) 单调不降，且最小化 \(\sum |a_i-b_i|\)

朴素 DP 为 \(f_{i,j}\) 表示 \(b_i=j\) 时前缀的最小代价。转移显然

\[f_{i,j}=\min_{k\leqslant j} \{f_{i-1,k}\}+|a_i-j| \]

这个式子看起来无法优化，实则 \(f_i\) 是个下凸壳。考虑归纳，当 \(i=1\) 时 \(f_1\) 显然是下凸的，其前缀 \(\min\) 也是下凸的，由其向 \(f_2\) 转移时，\(f_2\) 的函数即为两个下凸函数相加，由于凸函数相加仍是凸函数，所以其仍是下凸函数。

考虑用数据结构维护凸包。在这个问题中，可以直接用一个大根堆维护凸包上所有斜率拐点，由于每次斜率的变化量都是 \(+1,-1\)，所以定义以 \(p\) 为左端点的线段的斜率为堆中大于等于 \(p\) 的元素的相反数。若插入的斜率变化量多于 \(1\)，插入多个节点即可

CF1210G Mateusz and Escape Room

先枚举 \(n\rightarrow 1\) 的权值转移断环成链。DP 要求 \([1,i]\) 满足限制的同时需考虑 \(i\rightarrow i+1\) 的贡献，将其设计至状态中即可，转移式形如

\[f_{i,x}=\min_{a_i-x+y\in [l_i,r_i]}\{f_{i-1,y}\}+|x| \]

从形式上可以看出其具有凸性。用大根堆与小根堆分别维护斜率为负/正的直线即可，插入时先分别给大小根堆打 tag 平移，再插入 \(|x|\) 、调整两个堆即可

复杂度 \(O(n^2\log n)\) 卡卡就过了 注意到答案关于 \(n\rightarrow 1\) 的权值同样具有凸性，所以与三分结合即可

[APIO2016] 烟花表演

显然可子树向上 DP 转移且转移与叶子到根的距离相关，直接列转移式子十分丑陋。将转移看作函数的叠加，之后咕咕咕

动态 DP

考虑有些 DP 可以矩阵转移，于是可以用线段树维护转移矩阵。

树上 DDP 需要结合树剖，并将重儿子的贡献与轻儿子的贡献矩阵分开计算以树剖。但这个做法复杂度为双 \(\log\)。

全局平衡二叉树

是否存在一种形似点分树的重构树结构使得树高为 \(\log\) 且可维护矩阵呢？有的兄弟，有的

将原树上的每条重链单独提出建成一棵二叉树，轻边即是两棵二叉树中向上连接的指针。然后咕咕咕

[ZJOI2022] 深搜

咕咕咕