网络流（入门版）

Dinic 网络最大流

若存在一条从源点到汇点的新的增广路，设 \(k\) 为该增广路上最小的残留流量，那么整张图的流量就会增加 \(k\)。这个过程可以通过搜索模拟。

但是这样的话可能会因为搜索顺序导致最后的答案并非最优解，可能某些小流量占用了流量大的边。于是就有了建反边的操作。

反边即边 \(u\rightarrow v\) 变为 \(v\rightarrow u\)，初始容量为 \(0\)。当正边容量减 \(k\) 后，反边容量增加 \(k\)，走反边的退流操作相当于占用先前增广路的后半程，使先前的增广路去搜索新的增广路。这样就实现了一个“反悔”的操作

深搜每次可以找到一条增广路，这就是 EK 算法，复杂度为 \(O(nm^2)\)。但每次只找一条效率太低了。

Dinic 算法每次先 bfs 给图分层，之后在分层图上 dfs 。这样 dfs 的过程中可以找到多条增广路，复杂度 \(O(n^2m)\)

当前弧优化：在 dfs 的过程中，每条边只会出现在一条增广路中，所以在下次遍历中从它的下一条边开始遍历即可。这得上链前，邻接表很难写

代码：

bool bfs()
{
    queue <int> q;
    for (int i=1;i<=t;i++) dep[i]=0,cur[i]=hd[i];
    dep[s]=1; q.push(s);
    while (!q.empty())
    {
        int u=q.front(); q.pop();
        for (int i=hd[u],v;i;i=e[i].nxt)
        {
            if (dep[v=e[i].to]||e[i].val<=0) continue;
            dep[v]=dep[u]+1; q.push(v); 
            if (v==t) return true;
        }
    }
    return false;
}
int dfs(int u,int val)
{
    if (u==t) return val;
    int k=0,tmp,v;
    for (int i=cur[u];i;i=e[i].nxt)
    {
        if (dep[v=e[i].to]!=dep[u]+1||e[i].val<=0) continue;
        cur[u]=i;
        tmp=dfs(v,min(val,e[i].val));
        if (!tmp) { dep[v]=0; continue; }
        k+=tmp,val-=tmp;
        e[i].val-=tmp,e[i^1].val+=tmp;
    }
    return k;
}
void dinic() { while (bfs()) ans+=dfs(s,inf); }

最小费用最大流

其实就是将 bfs 改为 spfa。每次寻找从源点到汇点费用最小的一条增广路并进行增广。反边的费用是正边费用的相反数

代码懒得放。一般写 EK 就足够了

最小割

最小割即将原图的点集分为 \(S,T\) 两个集合，连接两个集合之间的所有边的容量。最大流等于最小割，证明见 wiki

例题

P4313 文理分科

正难则反，考虑割边。选文理是二选一模型，非常好搞；考虑割集的意义，给每个点掰一下表示同时选文/理的权值然后给对应的点连边即可。

P2766 最长不下降子序列问题

点内的限制就拆点完成，其他的直接根据题意跑最大流即可

P3980 [NOI2008] 志愿者招募

建模留坑。懒得写了。该题中一个增广路的流量要按最大的算，直接给容量取相反数+偏移量正常跑费用流即可

P3159 [CQOI2012] 交换棋子

网络流还是太抽象了。

拆点搞交换次数的限制，八连通连边表过程，从原位置到目标位置连边表目标，没了。

P2762 太空飞行计划问题

最大权闭合子图模型。按照最小割的思想处理即可。负点权转换为 \(a-b\) 的形式就可以转为正权，然后跑最大流就没了

P3163 [CQOI2014] 危桥

多源多汇网络流。

一个想法是建立超级源点和超级汇点连接各个源点、汇点，边的容量为目标流量。但可能会出现 \(a1\rightarrow b2,b1\rightarrow a2\) 的情况。其实这种情况跑两遍网络流，第二次交换 \(b1,b2\) 就能做。

现在设 \(a1\rightarrow b2\) 的流量为 \(x\)，\(b1\rightarrow a2\) 的流量也为 \(x\)，那么 \(a1\rightarrow a2\) 的流量即为 \(c1-x\)，\(b1\rightarrow b2\) 的流量为 \(c2-x\)。

在跑第二遍网络流的过程中，因为图是无向图，所以可以视为 \(a1\rightarrow a2\) 与 \(b1\rightarrow b2\) 的流量不变。也就是说，存在流量为 \(x\) 的路径 \((a1,b2),(a1,b1),(b1, a2),(b2, a2)\) 。然后就可以愉快地搞 \((a1,a2),(b1,b2)\) 流量为 \(x\) 的路径了

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=55;
const int M=3000;
const int inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n,s1,t1,s2,t2,c1,c2;
string c[N];
struct Edge { int to,nxt,val; }e[M<<1];
int hd[N],cnt=1,s,t,ans;

void add(int u,int v,int val)
{
    e[++cnt]={v,hd[u],val},hd[u]=cnt;
    e[++cnt]={u,hd[v],0},hd[v]=cnt;
}
void build(int ss,int tt)
{
    memset(hd,0,sizeof hd); cnt=1;
    s=n+1,t=n+2;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    for (int j=1;j<=n;j++)
    {
        if (c[i][j]=='O') add(i,j,1);
        else if (c[i][j]=='N') add(i,j,inf);
    }
    add(s,s1,c1); add(s,ss,c2);
    add(t1,t,c1); add(tt,t,c2);
}
int dep[N],cur[N];
bool bfs()
{
    queue <int> q;
    for (int i=1;i<=t;i++) dep[i]=0,cur[i]=hd[i];
    q.push(s); dep[s]=1;
    while (!q.empty())
    {
        int u=q.front(); q.pop();
        for (int i=hd[u],v;i;i=e[i].nxt)
        {
            if (dep[v=e[i].to]||e[i].val<=0) continue;
            dep[v]=dep[u]+1; q.push(v);
            if (v==t)  return true; 
        }
    }
    return false;
}
int dfs(int u,int val)
{
    if (u==t) return val;
    int k=0,tmp,v;
    for (int i=cur[u];i&&val;i=e[i].nxt)
    {
        cur[u]=i;
        if (e[i].val<=0||dep[v=e[i].to]!=dep[u]+1) continue;
        tmp=dfs(v,min(val,e[i].val));
        if (!tmp) { dep[v]=0; continue; }
        k+=tmp,val-=tmp;
        e[i].val-=tmp,e[i^1].val+=tmp;
    }
    return k;
}
int dinic()
{
    int res=0;
    while (bfs()) res+=dfs(s,inf);
    return res;
}
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0),cout.tie(0);

    while (cin>>n>>s1>>t1>>c1>>s2>>t2>>c2)
    {
        s1++,t1++,s2++,t2++; ans=1;
        for (int i=1;i<=n;i++) { cin>>c[i]; c[i]=" "+c[i]; }
        
        build(s2,t2); ans&=(dinic()==c1+c2);
        build(t2,s2);ans&=(dinic()==c1+c2); 
        cout<<(ans?"Yes\n":"No\n");
    }
    return 0;
}