sg函数

石子游戏

题目描述：

• 有n堆石子，每堆石子数量为$a_i$。两个人轮流从任意一堆石子中取若干个石子，最后无法取石子的人败。问，先手是否必胜。
• 结论：
  当n堆石子xor和为0时，为必败局面。
• 分析：
  首先，所有石子堆都没有石子时，xor和为0；然后考虑，若当前xor和为0，无论这个人怎么取，都不可能取完以后xor和还为0；而xor和不为零的，一定可以通过取特定数量的石子使xor和变为0；所以，xor和为0时先手必败，否则必胜。

sg函数

首先我们需要先了解一个运算mex，这是一个对于集合的运算，mex(S)表示集合S中最小没有出现过的自然数。例如：mex{0,1,2,4}=3，mex{2,3,5}=0，mex{}=0对于任意状态x，我们定义SG(X)=mex(S)，其中S表示x的后继状态的SG函数值的集合。举个栗子：x有三个后继状态分别为SG(a)，SG(b)，SG(c)；那么SG(x)=mex{SG(a)，SG(b)，SG(c)}。这样的集合S的最终状态必然是空集，所以当某一点的SG(x)=0，当且仅当x为为必败点时成立。

Sprague-Grundy定理（SG定理）

游戏的SG和等于各个游戏的SG函数的Nim和。这样就可以把一个游戏分而治之，从而简化问题。而Bouton定理就是SG定理在Nin游戏中的直接应用，因为单堆的Nim游戏SG函数满足SG(x)=x.即SG(G)=xor{SG(x)....}；