鞅的停时定理 学习笔记

前记：本来是没打算学鞅的，但是暑假第一天被神秘数学题肘飞，于是就有了这篇 blog

鞅

大概简述一下这个所谓的鞅。

鞅（英文名：Martingale）是概率论与随机过程理论中的核心概念，指满足条件期望等于当前值的随机过程。（源自度娘）

中译中一下，大概就是说在一个 公平赌博游戏 中，如果你的期望与你的本金是相等的，那么就称这种概率事件为鞅。

大概可以类比一下 自然底数e ，都是从生活中的概率问题抽象出来的数学模型。（e 是利率模型）。

那什么样的 “公平赌博游戏” 可以称之为 “鞅” 呢？

就是如果每一局比赛都是相互独立的，那么赌徒不管在进行了多少局之后，他的概率与期望都是始终不变的，这就是一个鞅。

数学表达式大致为 \(E（X_{n + 1} \mid 过去的全部信息）== X_n\)。

那这时你就有疑问了，欸？这个定义不是很简单吗？为什么要单独把它定义出来呢？我之前怎么没见过它呀？

因为它就像集合的定义一样，虽然基础，但是可以统一许多东西，比如说赌博，随机游走，布朗运动等等。

but，那为什么作为高中生要学习这个东西呢？

因为它和一个东西很像，那个叫马尔科夫链。

有一类whk问题，叫做首次到达问题。

想象你在一个坐标轴上走，问你第一次走到某个坐标的步数期望，这类问题是典型的马尔科夫链问题，通过递推关系去寻找答案。

但是，在这类题的本质在鞅上才有体现。

鞅的停时定理

其实定义很简单：有的时候，我们可以通过在某个特定的时间退出游戏来保证自己的收益，但由于鞅的定义，任意时刻都是期望都是不变的，所以并没有所谓的最佳时刻停止游戏以获得最佳收益。

所以这类问题一般都有限制条件，出题者规定了停时时刻（就拿上边那个问题举例子，你所要首次到达的坐标就是出题者规定的停时）。

OK！理论已然到手，接下来开始实践。

例题

来个例题，参考数学老师在群里发的题第最后一问。

因为 \(E(尝试) = 1 / p_m\)。

\(E(花费) = 80 / p_m\)。

所以有 \(E(花费) == E(奖励_{from mom})\)。

因此认为是公平的（鞅）。

所以可以列式了。

\(E(期望) == E(初始期望) == E(停时期望)\)。

\(E(初始期望) == 80 * E(步数期望)\)

\(E(停时期望) == \Sigma E(奖励期望) == 80 / p_1 + 80 / p_2 + 80 / p_3\)。

就有 \(80 * E(步数期望) == 80 / p_1 + 80 / p_2 + 80 / p_3\)。

解得 \(E(步数期望) == 5.5\)。

下边我们来扩展一下

考虑对于一个鞅 \({X_0,X_1.....X_n}\)，（每一个 \(X\) 对应一个状态），那么如何去求给定停时状态 \(X_t\) 的期望 \(E(X_t)\) 呢？

答案是构建势能函数。

$ E(Φ(A_{n+1}) − Φ(A_n)|A_0,A_1,...A_n) = −1（随着时间势能减少）$

\(Φ(A_t) 为常数，且 Φ(A_i) = Φ(A_t) 当且仅当 i = t（末状态唯一对应着一个势能）\)

那么可以描述停时 t 的期望 \(E(t) = E(Φ(A_0)) − Φ(A_t)\)

留个例题课下练习（其实是我也不太会了）：https://www.luogu.com.cn/problem/CF1025G

参考文章：https://www.cnblogs.com/The-Shadow-Dragon/p/18328194#-p170-黑暗型高松灯-

参考文章：https://www.cnblogs.com/C202044zxy/p/16340757.html

参考文章：https://www.luogu.com.cn/problem/solution/CF1025G

参考文章：https://baike.baidu.com/item/鞅/56830519

参考文章：https://oi-wiki.org/basic/amortized-analysis/

参考文章：https://www.luogu.com.cn/article/l3dfir8x

参考文章：https://www.bilibili.com/video/BV1fZ4y1F75j/?vd_source=b1c5c0bbadce15042aab122c82a4b77b

感谢观看