P14053 [SDCPC 2019] Median 题解

P14053 [SDCPC 2019] Median 题解

一道水题。

观察题意，很快我们可以发现，对于元素 \(i\)，其合不合法取决于一定大于 \(i\) 的数的个数与一定小于 \(i\) 的数的个数。

这时，我们只需要统计有多少数大于 \(i\)，与多少数小于 \(i\) 即可。

只要大于 \(i\) 的数的个数与一定小于 \(i\) 的数的个数均小于等于比中位数大或小的个数即可，也就是 \((n + 1) / 2 - 1\)。

接下来取出核心算法。

floyd 传递闭包。

首先我们发现，对于每对关系 \([a_i,b_i]\) 都一定有 \(a_i > b_i\)。

那么如果有 \(a > b\)、\(b > c\)，那么一定有 \(a > c\)。

这种关系是可以传递的！

那么我们考虑如何将这种关系下放。

观察数据范围，发现 \(n \leq 100\)，这说明本题可能需要 \(O(n ^ 3)\) 及以上的时间复杂度。

所以我们自然而然地想到floyd传递闭包。

所谓floyd传递闭包，就是用floyd将可传递的关系传递。

核心代码:

	for(int k = 1;k <= n;k ++) // 枚举中间值（即 a > b,b > c 中的 b ）
	{
		for(int i = 1;i <= n;i ++) //枚举关系的两端
		{
			for(int j = 1;j <= n;j ++)
			{
				a[i][j] |= a[i][k] & a[k][j]; // 如果 i > k 并且 k > j 则 i > j
			}
		}
	}

然后对于每个 \(i\) 我们知道了所有比它大的关系数，同理可以求出比它小的关系数。

然后直接判断是否可行即可。

判无解只需要判断是否有不合法关系即可，即 \(a > b\) 并且 \(b > a\)。

下面放上完整代码。

#include<bits/stdc++.h>
#define con putchar_unlocked(' ')
#define ent putchar_unlocked('\n')
#define Blue_Archive return 0
using namespace std;
constexpr int N = 100 + 3;
constexpr char me[] = "終末なにしてますか？忙しいですか？救ってもらっていいですか？";

int T;
int n;
int m;
int a[N][N]; // a[i][j] 表示 i > j

inline int read() // 快读
{
	int k = 0,f = 1;
	char c = getchar_unlocked();
	while(c < '0' || c > '9')
	{
		if(c == '-') f = -1;
		c = getchar_unlocked();
	}
	while(c >= '0' && c <= '9') k = (k << 3) + (k << 1) + c - '0',c = getchar_unlocked();
	return k * f;
}

inline void write(int x) // 快写
{
	if(x < 0) putchar_unlocked('-'),x = -x;
	if(x > 9) write(x / 10);
	putchar_unlocked(x % 10 + '0');
}

signed main()
{
	// freopen("data.in","r",stdin);freopen("data.out","w",stdout);
	T = read();
	while(T --)
	{
		for(int i = 1;i <= n;i ++) // 多测清空
		{
			for(int j = 1;j <= n;j ++)
			{
				a[i][j] = 0;
			}
		}
		n = read();
		m = read();
		bool flag = 1; // 记录是否合法
		for(int i = 1,x,y;i <= m;i ++)
		{
			x = read();
			y = read();
			a[x][y] = 1;
		}
		for(int k = 1;k <= n;k ++) // floyd 传递闭包
		{
			for(int i = 1;i <= n;i ++)
			{
				for(int j = 1;j <= n;j ++)
				{
					a[i][j] |= a[i][k] & a[k][j];
				}
			}
		}
		for(int i = 1;i <= n;i ++) // 判无解
		{
			for(int j = 1;j <= n;j ++)
			{
				if(a[i][j] && a[j][i])
				{
					flag = 0;
					break;
				} 
			}
		}
		if(flag == 0) 
		{
			for(int i = 1;i <= n;i ++) putchar_unlocked('0');
			ent;
			continue;
		}
		int op = (n + 1) / 2 - 1;
		for(int i = 1,mx,mn;i <= n;i ++)
		{
			mx = mn = 0;
			for(int j = 1;j <= n;j ++) // 记录比 i 大的数，与比 i 小的数
			{
				if(a[i][j]) mn ++;
				if(a[j][i]) mx ++;
			}
			if(mn <= op && mx <= op) putchar_unlocked('1');
			else putchar_unlocked('0');
		}
		ent;
	}
	Blue_Archive;
}

## P14053 [SDCPC 2019] Median 题解

一道水题。

观察题意，很快我们可以发现，对于元素 $i$，其合不合法取决于一定大于 $i$ 的数的个数与一定小于 $i$ 的数的个数。

这时，我们只需要统计有多少数大于 $i$，与多少数小于 $i$ 即可。

只要大于 $i$ 的数的个数与一定小于 $i$ 的数的个数均小于等于比中位数大或小的个数即可，也就是 $(n + 1) / 2 - 1$。

接下来取出核心算法。

# floyd 传递闭包。

首先我们发现，对于每对关系 $[a_i,b_i]$ 都一定有 $a_i > b_i$。

那么如果有 $a > b$、$b > c$，那么一定有 $a > c$。

这种关系是可以传递的！

那么我们考虑如何将这种关系下放。

观察数据范围，发现 $n \leq 100$，这说明本题可能需要 $O(n ^ 3)$ 及以上的时间复杂度。

所以我们自然而然地想到floyd传递闭包。

所谓floyd传递闭包，就是用floyd将可传递的关系传递。

核心代码:

```cpp
	for(int k = 1;k <= n;k ++) // 枚举中间值（即 a > b,b > c 中的 b ）
	{
		for(int i = 1;i <= n;i ++) //枚举关系的两端
		{
			for(int j = 1;j <= n;j ++)
			{
				a[i][j] |= a[i][k] & a[k][j]; // 如果 i > k 并且 k > j 则 i > j
			}
		}
	}

然后对于每个 \(i\) 我们知道了所有比它大的关系数，同理可以求出比它小的关系数。

然后直接判断是否可行即可。

判无解只需要判断是否有不合法关系即可，即 \(a > b\) 并且 \(b > a\)。

下面放上完整代码。

#include<bits/stdc++.h>
#define con putchar_unlocked(' ')
#define ent putchar_unlocked('\n')
#define Blue_Archive return 0
using namespace std;
constexpr int N = 100 + 3;
constexpr char me[] = "終末なにしてますか？忙しいですか？救ってもらっていいですか？";

int T;
int n;
int m;
int a[N][N]; // a[i][j] 表示 i > j

inline int read() // 快读
{
	int k = 0,f = 1;
	char c = getchar_unlocked();
	while(c < '0' || c > '9')
	{
		if(c == '-') f = -1;
		c = getchar_unlocked();
	}
	while(c >= '0' && c <= '9') k = (k << 3) + (k << 1) + c - '0',c = getchar_unlocked();
	return k * f;
}

inline void write(int x) // 快写
{
	if(x < 0) putchar_unlocked('-'),x = -x;
	if(x > 9) write(x / 10);
	putchar_unlocked(x % 10 + '0');
}

signed main()
{
	// freopen("data.in","r",stdin);freopen("data.out","w",stdout);
	T = read();
	while(T --)
	{
		for(int i = 1;i <= n;i ++) // 多测清空
		{
			for(int j = 1;j <= n;j ++)
			{
				a[i][j] = 0;
			}
		}
		n = read();
		m = read();
		bool flag = 1; // 记录是否合法
		for(int i = 1,x,y;i <= m;i ++)
		{
			x = read();
			y = read();
			a[x][y] = 1;
		}
		for(int k = 1;k <= n;k ++) // floyd 传递闭包
		{
			for(int i = 1;i <= n;i ++)
			{
				for(int j = 1;j <= n;j ++)
				{
					a[i][j] |= a[i][k] & a[k][j];
				}
			}
		}
		for(int i = 1;i <= n;i ++) // 判无解
		{
			for(int j = 1;j <= n;j ++)
			{
				if(a[i][j] && a[j][i])
				{
					flag = 0;
					break;
				} 
			}
		}
		if(flag == 0) 
		{
			for(int i = 1;i <= n;i ++) putchar_unlocked('0');
			ent;
			continue;
		}
		int op = (n + 1) / 2 - 1;
		for(int i = 1,mx,mn;i <= n;i ++)
		{
			mx = mn = 0;
			for(int j = 1;j <= n;j ++) // 记录比 i 大的数，与比 i 小的数
			{
				if(a[i][j]) mn ++;
				if(a[j][i]) mx ++;
			}
			if(mn <= op && mx <= op) putchar_unlocked('1');
			else putchar_unlocked('0');
		}
		ent;
	}
	Blue_Archive;
}