spfa判断负环

spfa判断负环

给出T组数据，其中有一个n点m边的图，问每个数据是否存在负环。N,M,|w|≤200 000。

spfa如何判断负环呢？只要枚举每一个点，然后dfs/bfs更新即可，具体看代码。

它的基本思想是：如果找到一个点x，能更新自己，那么就存在负环。然而有这样一种情况：由于\(dis+v<dis\)才能更新的限制，可能点X更新到Y就卡住，然后放弃更新了。那么这种情况是否会错呢？

答案是否，因为Y这个点肯定已经找过环了。关于spfa的论文解释过原因：

在测试中笔者还注意到Dfs不管是否存在正环，效果都很好，这可能会让有些读者感到纳闷，按照他们的理解，没有找出正环意味着SPFA算法结束，也就是已经求出最短(长)路，但为什么上文使用Dfs求最短路的效率并没有如此高呢？
这是因为查找正环和求最短路是有区别的。找环时初值应全部赋为0，这将会减少大量无用的计算，效率自然高了不少。有些读者便会怀疑赋初值为0的正确性，会不会由于初值相同而找不到正环，其实这是可以证明的。
首先假设初始时存在一个点s，从该点出发我们能找到正环。下面证明对环上某个点x的重赋值不会对正环的查找产生影响。
假设x在环上的前驱为y。本来在寻找正环时dis[y]+w(y,x)>dis[x]，然后继续从x开始迭代。而如果dis[x]被重赋值了dis[x]’>=dis[y]+w(y,x)，看似迭代到x时就停止了，但其实当x之前被赋为dis[x]’时，就已经可以从x开始继续在环上迭代了，也不需要再从y过渡到x。两者并无区别。依次类推，必然可以找到一个导致正环的起点。
而开始的假设则显然成立，否则我们可以把该正环分成若干段，每段的边权和<=0，与正环的前提矛盾，由此命题得证。

#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

const int maxn=2e5+5, maxm=2e5+5;

int getint(){
    char c; int flag=1, re=0;
    for (c=getchar(); !isdigit(c); c=getchar())
        if (c=='-') flag=-1;
    for (re=c-48; c=getchar(), isdigit(c); re=re*10+c-48);
    return re*flag;
}

struct Graph{
    struct Edge{
        int to, next, v; Graph *bel;
        inline int operator *(){ return to; }
        Edge& operator ++(){
            return *this=bel->edge[next]; }
    };
    void reset(){
        cntedge=0; memset(fir, 0, sizeof(fir)); }
    void addedge(int x, int y, int v){
        Edge &e=edge[++cntedge];
        e.to=y; e.next=fir[x]; e.v=v;
        e.bel=this; fir[x]=cntedge;
    }
    Edge& getlink(int x){ return edge[fir[x]]; }
    Edge edge[maxm*2];
    int cntedge, fir[maxn];
}g;

int T, n, m, dis[maxn], visit[maxn]; bool flag;

void spfa(int now){
    Graph::Edge e=g.getlink(now);
    visit[now]=1; if (flag) return;
    for (; *e; ++e)
        if (dis[now]+e.v<dis[*e]){
            dis[*e]=dis[now]+e.v;
            if (visit[*e]) flag=true;
            else spfa(*e);
        }
    visit[now]=0;
}

int main(){
    T=getint(); int x, y, v;
    while (T--){
        g.reset(); flag=false;
        n=getint(); m=getint();
        for (int i=1; i<=m; ++i){
            x=getint(); y=getint(); v=getint();
            g.addedge(x, y, v);
            if (v>=0) g.addedge(y, x, v);
        }
        for (int i=1; i<=n; ++i) dis[i]=visit[i]=0; 
      	//不能设置成inf，不然就退化成n^2算法了
        for (int i=1; i<=n; ++i) spfa(i); //不能判断是否访问过！
        if (flag) printf("YE5\n");
        else printf("N0\n");
    }
    return 0;
}