完全背包问题

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完全背包问题简介🐳

有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。

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问题特征🤓

与01背包和多重背包不同的是，完全背包问题中的每个物品数量都是无限的

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思路转换😆

在01背包的滚动数组实现代码中，我们发现如果将bagSize的遍历按顺序遍历，而不是倒序，那么前面的dp[0]会被添加多次，这就是完全背包问题的解决方式

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代码实现🚁

1、dp数组的含义：dp[i]表示bagSize=i时，背包中装入物品达到最大价值

2、递推公式：dp[j]=Math.max(dp[j],dp[j-weight[i]]+values[i])

3、数组的初始化：dp[0]=0,表示当bagSize=0时，背包中最大的价值为0，即装不下任何东西

4、遍历顺序：先遍历背包或者先遍历物品均可（但是求方法数量时，两者有较大区别）

5、测试一遍

//先遍历物品，再遍历背包
private static void testCompletePack(){
    int[] weight = {1, 3, 4};
    int[] value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;
    int[] dp = new int[bagWeight + 1];
    for (int i = 0; i < weight.length; i++){ // 遍历物品
        // 遍历背包容量！！！这里可以直接让j初始值为weight[i]
        for (int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++){ 
            dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    for (int maxValue : dp){
        System.out.println(maxValue + "   ");
    }
}

//先遍历背包，再遍历物品
private static void testCompletePackAnotherWay(){
    int[] weight = {1, 3, 4};
    int[] value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;
    int[] dp = new int[bagWeight + 1];
    for (int i = 1; i <= bagWeight; i++){ // 遍历背包容量
        for (int j = 0; j < weight.length; j++){ // 遍历物品
            if (i - weight[j] >= 0){
                dp[i] = Math.max(dp[i], dp[i - weight[j]] + value[j]);
            }
        }
    }
    for (int maxValue : dp){
        System.out.println(maxValue + "   ");
    }
}

拓展：关于完全背包求解决方法的 数量 问题😬

问题特征：

求装满背包有几种方法？

解决方法：

这种问题我们不在将dp[j]的意义作为背包容量为j时可以放入的物品的最大价值，而是将其意义定义为背包容量为j可以装满背包的方法的数量！！！

值得注意的一点是，由于完全背包问题的遍历比较特殊，当两层for循环颠倒时，分别表示排列、组合情况下方法的数量，两者并不相同。

关于排列组合的解释

1、外层背包，内层物品：排列🥘

代码的实现：

//先遍历背包，再遍历物品
private static void testCompletePackAnotherWay(){
    int[] weight = {1, 3, 4};
    int[] value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;
    int[] dp = new int[bagWeight + 1];
    for (int i = 1; i <= bagWeight; i++){ // 遍历背包容量
        for (int j = 0; j < weight.length; j++){ // 遍历物品
            if (i - weight[j] >= 0){
                dp[i]+=dp[i-weight[j]];
            }
        }
    }
    for (int maxValue : dp){
        System.out.println(maxValue + "   ");
    }
}

关于对排列的解释🦈

/*
背包容量为5，有三个物品，分别重量分别为1，2，5。
按照排列的方式有多少种方法可以装满背包？
*/
bagSize = 5, weight = [1, 2, 5]

我们可以看到，在遍历bagSize=2之前，bagSize=1已经被完全遍历完了，同理，在遍历bagSize=3之前，2也被遍历完了。所以当遍历物品1、bagSize=3时，我们会将（2，1）添加进来，当遍历物品2、bagSize=3时，我们会添加（1，2），即bagSize=2时的排列的（2，1）和bagSize=3时排列的（1，2）都添加进来了，所以得到的方案数量是“排列”。

2、外层物品，内层背包：组合🥘

代码的实现：

//先遍历物品，再遍历背包
private static void testCompletePack(){
    int[] weight = {1, 3, 4};
    int[] value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;
    int[] dp = new int[bagWeight + 1];
    for (int i = 0; i < weight.length; i++){ // 遍历物品
        // 遍历背包容量！！！这里可以直接让j初始值为weight[i]
        for (int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++){ 
            dp[j]+=dp[j-weight[i]];
        }
    }
    for (int maxValue : dp){
        System.out.println(maxValue + "   ");
        }
	}
}

关于对组合的解释🦈

/*
背包容量为5，有三个物品，分别重量分别为1，2，5。
按照组合的方式有多少种方法可以装满背包？
*/
bagSize = 5, weight = [1, 2, 5]

我们可以发现，当遍历bagSize=3、物品1时，bagSize=2、物品2并没有遍历，导致（2）还没有被添加进dp[2]中，进而dp[3]中也不会有(2)。同理，当遍历bagSize=4、物品1时，bagSize=3、物品2并没有遍历，导致了此时的dp[3]中并没有（1，2），dp[4]中自然也不会添加进来（后续不会再出现dp[4]+=dp[3]的情况，因为物品1已经遍历过了，dp[4]+=dp[4-1]的情况不会再出现）。这样子就导致了没有排列的情况，所以得到的结果是”组合“。