赫斯特 (Hurst)计算——重标极差法（R/S法）

1. 基本概念

• 赫斯特 (Hurst)指数：介于0到1之间的标量，度量时间序列的趋势持续性（惯性）
• 判读规则：
  • H > 0.5：序列有持续性（长程正相关）
  • H = 0.5：序列为无记忆随机游走
  • H < 0.5：序列有反持续性（长程负相关）
• 核心特性：仅度量趋势的"惯性"，不度量趋势方向或波动大小

2. 重标极差法 (R/S法)
   核心思想：检验序列在不同时间尺度上的统计自相似性
   流程概括：多尺度切割 -> 归一化比较 -> 对数线性拟合

3. 关键要点总结
   | 符号 | 含义 | 作用 |
   |------|------|------|
   | X(k) | 累积离差序列 | 衡量趋势的累积效应 |
   | R | 极差（max(X)-min(X)） | 度量累积波动幅度 |
   | S | 标准差 | 度量单步波动强度 |
   | R/S | 重标极差 | 标准化波动比，可跨序列比较 |
   | H | 拟合直线斜率 | 赫斯特指数（长期记忆强度） |

4. 简要流程
   原始序列 → 多尺度分割 → 各尺度计算R/S均值 → 取对数 → 线性拟合斜率 → 得到H值

5. 注意事项

• 数据量N应足够大（建议N > 300）
• 最后一个不完整子块必须舍去
• 结果应结合显著性检验解读
• R/S法对非平稳序列敏感，可考虑DFA等替代方法

计算步骤

 **步骤1：数据准备**
- 时间序列 `Y = [y₁, y₂, ..., yₙ]`，长度 `N`
- *示例*：某地2000年1月起360个月每月降雨量

 **步骤2：设置时间窗口序列**
- 最小窗口 ≥ 10（保证统计可靠性）
- 最大窗口 ≤ `N/2`（保证足够子块数）
- 中间窗口：在对数坐标上近似均匀分布  
  *示例*：`[10, 12, 18, 24, 36, 48, 60, 72, 90, 120, 180]`

 **步骤3：对每个窗口 `n` 计算平均R/S值**
for n in [10, 12, 18, ...]:
# 3.1 分割成子块（舍去末尾不足n的部分）
M = int(N / n) # 子块数量
RS_list = [] # 存储各子块R/S值
# 3.2 计算每个子块的R/S
  for t in range(M):
      block = Y[t*n : (t+1)*n]  # 第t个子块
      # 3.2.1 计算子块均值
      μ = mean(block)

      # 3.2.2 计算累积离差序列 X(k)
      X = [0]  # X(0)=0
      for i in range(1, n+1):
          X.append(X[i-1] + (block[i-1] - μ))
      X = X[1:-1]
    
      # 3.2.3 计算极差R
      R = max(X) - min(X)
    
      # 3.2.4 计算标准差S
      S = std(block)  # 子块原始序列标准差
    
      # 3.2.5 计算重标极差 R/S
      RS_list.append(R / S)

# 3.3 计算窗口n的平均R/S值
RS_n = mean(RS_list)
# 记录坐标点
coordinates.append( (log(n), log(RS_n)) )


**步骤4：线性拟合求H**
- 经验公式：(R/S)_n ≈ C × n^H
- 对数变换：`log(R/S)_n ≈ H × log(n) + log(C)`
- 拟合：对坐标点集 `(log(n), log(RS_n))` 进行最小二乘线性回归
- 结果：拟合直线的斜率即为赫斯特指数 H