树状数组Day2总结

一、新知&回顾

1. König定理

对于一个二分图 G ，最小点覆盖数等于最大匹配数。

理解：最小点覆盖是指用最少的点覆盖图中所有的边（每条边至少有一个端点在覆盖集中）。在二分图中，这个最小点覆盖的大小可以通过最大匹配来构造。

2. Gallai恒等式

对于一张图 G = (V, E)，设：

• I 为最小点覆盖
• F 为最大独立集

则恒有：

|I| + |F| = |V|

理解：最小点覆盖和最大独立集互为补集。因为：

• 点覆盖是覆盖所有边的点集
• 独立集是没有边连接的点集
• 一个集合是点覆盖 ⇔ 它的补集是独立集
  所以最小点覆盖的补集就是最大独立集。

3. 树的直径

定义：指树中两个最远节点之间的距离。

两次DFS/BFS求直径的原理：

1. 从任意节点 u 出发，找到距离 u 最远的节点 v
2. 从 v 出发，找到距离 v 最远的节点 w
3. v 到 w 的路径就是树的直径

证明思路：

• 第一次DFS找到的 v 一定是直径的一个端点
• 因为如果直径端点是 a 和 b，那么从任意点 u 出发的最远点要么是 a 要么是 b
• 第二次DFS从 v 出发，找到的最远点就是直径的另一个端点

二、有待改进&收获

1. 命名规范

• 避免使用相似的前缀
• 使用有意义的变量名

2. RE调试方法

• 逐步注释代码，定位出错位置
• 使用小数据进行测试

3. 验证思路

• 多画图
• 用手算小样例验证算法