均值不等式

均值不等式

设两个数 \(a, b\)，其中 \(a>0,b>0\)，那么有：

\[\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} \]

证明：

设有 \((c-d)^2\ge 0\)，那么展开：

\[c^2 + d^2 -2cd \ge 0 \]

\[\frac{c^2 + d ^ 2}{2} \ge cd \]

设 \(c = \sqrt{a}, d = \sqrt{b}\)，那么替换后有：

\[\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{a} \times \sqrt{b} \]

使用条件

\(a>0,b>0\)

\(\frac{a + b}{2}\) 或 \(\sqrt{ab}\) 要有一个是定值

使用

当 \(a=b\) 的时候式子也就是 \(\frac{a + b}{2}\) 能取到最小值。

高级

\[\sqrt{ab}\le \frac{a + b}{2}\le \sqrt{\frac{a^2 + b ^ 2}{2}} \]