AcWing 5. 多重背包问题 II

题目

有 \(N\) 种物品和一个容量是 \(V\) 的背包。

第 \(i\) 种物品最多有 \(s_i\) 件，每件体积是 \(v_i\)，价值是 \(w_i\)。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，\(N，V\)，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 \(N\) 行，每行三个整数 \(v_i, w_i, s_i\)，用空格隔开，分别表示第 \(i\) 种物品的体积、价值和数量。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

\(0 \lt N \le 1000\)
\(0 \lt V \le 2000\)
\(0 \lt v_i, w_i, s_i \le 2000\)

提示：

本题考查多重背包的二进制优化方法。

输入样例

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例：

10

---

题解

C++ 代码

/* 将多重背包问题进行二进制优化 至于为什么不能像完全背包一样利用f[i,j]和f[i,j-v]状态方程优化，
   因为f[i,j]比f[i,j-v]多了一项，优化不掉，不懂的话看底部提供的题解 ，所以本题我们使用二进制优化 */
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 11010, M = 2010; //这里N开的数据范围的依据:多重背包问题中的一个「箱子」相当于01背包问题中的一件「物品」，实际上我们是要将s[i]用几个箱子装进去，因此我们需要估计出多重背包问题中到底有多少个箱子。
                               //这里的箱子也就是二进制优化下的s[i] 由题 s[i]<=2000 则log2000 < 11(log以2为底) 一共最多1000件物品，则我们需要开的范围就是 11*1000+10=11010
int v[N], w[N];
int f[M]; //f[]是装不同背包容积下的物品最大价值，所以用背包容积来开f[]数组

int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    int cnt = 0; //重新定义存储物品的编号

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        int a, b, s;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &s); //依次录入i号物品的体积 价值 数量
        int k = 1; //定义箱子可以放物品的初始值 第一个箱子可以放一个i号物品

        while (k <= s)
        {
            cnt ++ ; //编号增加 可以看成是每一个箱子的编号
            v[cnt] = a * k; //这个箱子可以存的i号物品总体积  箱子可以放的物品总数 * 物品体积 = 物品总体积
            w[cnt] = b * k; //这个箱子可以存的i号物品总价值
            s -= k; //从i号物品总个数中减去这个箱子装的k个 方便while循环条件判断
            k *= 2; //二进制优化 下一个箱子可以放的物品数量是上一个的两倍
        }
        if (s > 0) //如果物品i还没有被二进制箱子存完 再开一个可以存还剩下的所有物品i的箱子
        {
            cnt ++ ; //当前箱子的编号
            v[cnt] = a * s;
            w[cnt] = b * s;
        }
    }

    n = cnt; //关键一步！将物品编号更改为所有物品在箱子里装完后箱子的编号

    //上面结束后 我们将物品全部装进了箱子 我们不管想在背包里装多少个物品i，都可以装箱子的方式实现 
    //例如要装7个物品i 我们就用物品i的1号2号3号箱子(1号能装1个i 2号能装2个i 3号能装4个i) 
    //这就是我们使用二进制优化的意义，能将所有需要的物品数量表示出来
    //由于所有需要的物品数量都能用不同箱子的组合表达 所以现在每个箱子的状态只能是 用或者不用 从而转化为01背包问题

    //对照01背包代码
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) //注意n已经被cnt重新赋值了
        for (int j = m; j >= v[i]; j -- ) //01背包逆序存储
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);

    printf("%d\n", f[m]);

    return 0;
}

https://www.acwing.com/solution/content/20115/
https://blog.csdn.net/raelum/article/details/128996521