AcWing 4956. 冶炼金属 ---利用二分查找 容易理解的方法

题目

小蓝有一个神奇的炉子用于将普通金属 \(O\) 冶炼成为一种特殊金属 \(X\)。

这个炉子有一个称作转换率的属性 \(V\)，\(V\) 是一个正整数，这意味着消耗 \(V\) 个普通金属 \(O\) 恰好可以冶炼出一个特殊金属 \(X\)，当普通金属 \(O\) 的数目不足 \(V\) 时，无法继续冶炼。

现在给出了 \(N\) 条冶炼记录，每条记录中包含两个整数 \(A\) 和 \(B\)，这表示本次投入了 \(A\) 个普通金属 \(O\)，最终冶炼出了 \(B\) 个特殊金属 \(X\)。

每条记录都是独立的，这意味着上一次没消耗完的普通金属 \(O\) 不会累加到下一次的冶炼当中。

根据这 \(N\) 条冶炼记录，请你推测出转换率 \(V\) 的最小值和最大值分别可能是多少，题目保证评测数据不存在无解的情况。

输入格式

第一行一个整数 \(N\)，表示冶炼记录的数目。

接下来输入 \(N\) 行，每行两个整数 \(A、B\)，含义如题目所述。

输出格式

输出两个整数，分别表示 \(V\) 可能的最小值和最大值，中间用空格分开。

数据范围

对于 \(30\%\) 的评测用例，\(1 ≤ N ≤ 10^2\)。
对于 \(60\%\) 的评测用例，\(1 ≤ N ≤ 10^3\)。
对于 \(100\%\) 的评测用例，\(1 ≤ N ≤ 10^4\)，\(1 ≤ B ≤ A ≤ 10^9\)。

输入样例：

3
75 3
53 2
59 2

输出样例：

20 25

样例解释

当 \(V = 20\) 时，有：\(⌊\frac{75}{20} ⌋ = 3\)，\(⌊\frac{53}{20} ⌋ = 2\)，\(⌊\frac{59}{20} ⌋ = 2\)，可以看到符合所有冶炼记录。

当 \(V = 25\) 时，有：\(⌊\frac{75}{25} ⌋ = 3\)，\(⌊\frac{53}{25} ⌋ = 2\)，\(⌊\frac{59}{25} ⌋ = 2\)，可以看到符合所有冶炼记录。

且再也找不到比 \(20\) 更小或者比 \(25\) 更大的符合条件的 \(V\) 值了。

题解

好理解的二分方法

如果二分基本知识不牢的话，推荐看这篇博客 https://blog.csdn.net/raelum/article/details/128687109
二分实质是将准备求的边界 划分为两个对立的区间
由于转换率 V的取值一定是小于普通金属的数目A的，由题\(1≤B≤A≤10^9\) 所以我们将V的取值范围也设在\(1≤V≤10^9\) 这就是我们所要二分的边界

这里也有个要注意的点用SL的check(mid)举例
由于有n个A和B，我们要在每一个a[i].first / mid <= a[i].second 都判断成功时， 才能输出true，这样写起来很麻烦
所以我们将判断条件反着写，一旦a[i].first / mid <= a[i].second不成立，就判断为false
也就是只要a[i].first / mid > a[i].second 就为false，当循环内都不满足 才输出true

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 10010;
typedef pair<int, int> PII;

int n;
PII a[N];

bool check_1(int mid) //SL的判断条件
{
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
        if(a[i].first / mid > a[i].second) return false;

    return true;
}

bool check_2(int mid) //RL的判断条件
{
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
        if(a[i].first / mid < a[i].second) return false;

    return true;
}

int SL(int l, int r) //求左边界
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if(check_1(mid)) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}

int RL(int l, int r) //求右边界
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if(check_2(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%d%d", &a[i].first, &a[i].second);
    int l = 1, r = 1e9; //因为这里写成int l = 0, r = 1e9; debug了两个小时！ 
    printf("%d ", SL(l, r));
    r = 1e9;  //求出左边界后，我们求右边界时就可以从求出的左边界到1e9来查找右边界
    printf("%d\n", RL(l, r));

    return 0;
}

这里最开始写成int l = 0, r = 1e9; debug了两个小时！
原因：因为l~r这个区间是用来求除数V的，当l可以取0时，我们就有概率赋值到 l + r = mid=0这个值
在check函数内，a[i].first / mid，mid = 0， 除数就是0，当除数为0会形成Float Point Exception错误
然后测试的最后一组数据非常地恶心，左右边界都是1 1，所以当我们求左边界时，初始值mid = l + r >> 1，会一直满足check_1(mid)，r = mid 一直进行，l + r >> 1 一直进行
最终mid = 1时，check_1(mid)成立， r = mid = 1，下一次循环mid = l + r >> 2 就等于0了(向下取整)
于是在check_1(mid)就会发生Float Point Exception错误 所以一定要注意边界问题！
实际上是审题不清