[Ynoi2015]盼君勿忘

题目大意:

给定一个序列,每次查询一个区间\([l,r]\)中所有子序列分别去重后的和\(\bmod p\)(每次询问模数不同)。

解题思路:

在太阳西斜的这个世界里,置身天上之森。等这场战争结束之后,不归之人与望眼欲穿的众人, 人人本着正义之名,长存不灭的过去、逐渐消逝的未来。我回来了,纵使日薄西山,即便看不到未来,此时此刻的光辉,盼君勿忘。————世界上最幸福的女孩

珂朵莉,要永远幸福哦。

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我们考虑每个数的贡献。即该区间内含有这个数的子序列个数。用补集转化为不含这个数的子序列个数。

那么,假设这个数在\([l,r]\)内出现了\(k\)次,则一共有\(2^{r-l+1}-2^{r-l+1-k}\)个子序列**包含**这个数。

所以,我们莫队,维护所有出现\(k\)次的不同数的和,然后包含这些数的子序列个数都相同,所以直接用和来计算贡献即可。

时间复杂度\(O(nm)\),非常优秀

考虑根号内分类讨论。

对于出现次数大于\(\sqrt n\)的数,这种数最多不到\(\sqrt n\)个。

所以我们莫队,统计出现次数小于等于\(\sqrt n\)的所有出现次数为\(i\)的和\(s_i\),然后用一个东西来维护所有出现次数大于\(\sqrt n\)的数。

这样的话,每次询问的复杂度就是\(O(\sqrt n)\)了。

看上去好像没什么问题,实际上你会发现求2的幂次还有个\(\log\),而且模数会改,不好预处理。

有一种分块\(O(\sqrt n)\)预处理,\(O(1)\)求幂次的方法,具体就是求出\(2^0,2^1,2^2,\dots,2^{{\sqrt n}-1}\)和\(2^{\sqrt n},2^{2\sqrt n},\dots,2^n\)(模意义),然后每个幂都分成两部分相乘即可。

每次询问重新计算一遍即可。

然后我们考虑用什么东西来维护出现次数大于\(\sqrt n\)的数。我用了unordered_set,理论上是线性的(当然这个理论有多可靠就不知道了)

这样总时间复杂度\(O((n+m)\sqrt n)\),空间复杂度\(O(n)\)。

C++ Code:

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<unordered_set>
#ifdef ONLINE_JUDGE
struct istream{
    char buf[23333333],*s;
    inline istream(){
        buf[fread(s=buf,1,23333330,stdin)]='\n';
        fclose(stdin);
    }
    inline istream&operator>>(int&d){
        d=0;
        for(;!isdigit(*s);++s);
        while(isdigit(*s))
        d=(d<<3)+(d<<1)+(*s++^'0');
        return*this;
    }
}cin;
struct ostream{
    char buf[8000005],*s;
    inline ostream(){s=buf;}
    inline ostream&operator<<(int d){
        if(!d){
            *s++='0';
        }else{
            static int w;
            for(w=1;w<=d;w*=10);
            for(;w/=10;d%=w)*s++=d/w^'0';
        }
        return*this;
    }
    inline ostream&operator<<(const char&c){*s++=c;return*this;}
    inline void flush(){
        fwrite(buf,1,s-buf,stdout);
        s=buf;
    }
    inline~ostream(){flush();}
}cout;
#else
#include<iostream>
using std::cin;
using std::cout;
#endif
#define siz 317
#define N 100005
int n,m,a[N],buc[N],_2[siz+2],__2[siz+2],out[N];
long long bvc[siz+2];
std::vector<int>lr;
std::unordered_set<int>s;
inline int pow2(int b,const int&md){
	int ret=1,a=2;
	for(;b;b>>=1,a=1LL*a*a%md)
	if(b&1)ret=1LL*ret*a%md;
	return ret;
}
inline int pw2(int m,const int&md){
	return 1LL*_2[m%siz]*__2[m/siz]%md;
}
struct que{
	int l,r,id,md;
	inline bool operator<(const que&rhs)const{
		return(l/siz!=rhs.l/siz)?(l<rhs.l):(r<rhs.r);
	}
}q[N];
inline void add(int pos){
	const int val=a[pos];
	if(buc[val]>siz)++buc[val];else
	if(buc[val]==siz)bvc[buc[val]++]-=lr[val],s.insert(val);else
	bvc[buc[val]]-=lr[val],bvc[++buc[val]]+=lr[val];
}
inline void del(int pos){
	const int val=a[pos];
	if(buc[val]>siz+1)--buc[val];else
	if(buc[val]==siz+1)s.erase(val),bvc[--buc[val]]+=lr[val];else
	bvc[buc[val]]-=lr[val],bvc[--buc[val]]+=lr[val];
}
int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;lr.push_back(a[i++]))cin>>a[i];
	std::sort(lr.begin(),lr.end());
	for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=lower_bound(lr.begin(),lr.end(),a[i])-lr.begin();
	for(int i=1;i<=m;++i)
	cin>>q[q[i].id=i].l>>q[i].r>>q[i].md;
	std::sort(q+1,q+m+1);
	int l=1,r=0;
	for(int i=1;i<=n;++i)*bvc+=a[i];
	*_2=*__2=1;
	for(int i=1;i<=m;++i){
		while(r<q[i].r)add(++r);
		while(l>q[i].l)add(--l);
		while(r>q[i].r)del(r--);
		while(l<q[i].l)del(l++);
		const int md=q[i].md,len=r-l+1;
		for(int j=1;j<siz;++j)
		_2[j]=2LL*_2[j-1]%md;
		__2[1]=pow2(siz,md);
		for(int j=2;j<=siz;++j)
		__2[j]=__2[1]*1LL*__2[j-1]%md;
		int&ans=out[q[i].id];
		const int all=pw2(len,md);
		for(int j=1;j<=siz;++j)
		(ans+=1LL*(all-pw2(len-j,md)+md)*bvc[j]%md-md)+=ans>>31&md;
		for(int j:s){
			(ans+=1LL*(all-pw2(len-buc[j],md)+md)*lr[j]%md-md)+=ans>>31&md;
		}
	}
	for(int i=1;i<=m;++i)cout<<out[i]<<'\n';
	return 0;
}

 

  

 

posted @ 2018-12-11 16:05  Mrsrz  阅读(528)  评论(0编辑  收藏  举报