[Ynoi2015]此时此刻的光辉

题目大意:

给定一个序列,每次询问一段区间的数的乘积的约数个数。

解题思路:

在太阳西斜的这个世界里,置身天上之森。等这场战争结束之后,不归之人与望眼欲穿的众人, 人人本着正义之名,长存不灭的过去、逐渐消逝的未来。我回来了,纵使日薄西山,即便看不到未来,此时此刻的光辉,盼君勿忘。————世界上最幸福的女孩

我永远喜欢珂朵莉。

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\(10^9\)以内的数最多有10个不同的质因子。

考虑对其质因数分解。

由于值域范围过大,考虑使用Pollard-Rho算法。

这里普通的Pollard-Rho算法可能会TLE。如果你的代码能通过模板题,那基本上没问题(窝反正直接把以前写的板子拉过来然后调了调参)。

之后,你就会得到最多\(10n\)个不同的质因数。对其进行离散化,开桶记录。

然后上莫队,对于每次指针的偏移,把它所有的质因数加到桶里,同时维护约数个数即可。

这部分时间复杂度\(O(10n\sqrt n)\),加上上面的质因数分解的玄学期望复杂度,只能获得82分的好成绩。

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我们考虑把每个数\(1000\)以内的质因子先取出来(\(1000\)以内共168个质数),然后,对其做前缀和,记录前缀的出现次数。

然后,由于\(1001^3>10^9\),所以每个数剩下最多不超过2个质因子。这部分用Pollard_Rho找即可。

然后莫队的时候,对于前面168个质数就可以不用维护,直接用前缀和。

而对于后面的大质因子,再离散化处理即可。由于每个数最多两个质因子,所以常数就小了很多。

而由于筛掉了很多小的质因子,Pollard_Rho的速度也会变快。然后就足以通过此题。

C++ Code:

#include<cctype>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cstring>
#define ctz __builtin_ctz
using namespace std;
#ifdef ONLINE_JUDGE
struct istream{
	char buf[23333333],*s;
	inline istream(){
		buf[fread(s=buf,1,23333330,stdin)]='\n';
		fclose(stdin);
	}
	inline istream&operator>>(int&d){
		d=0;
		for(;!isdigit(*s);++s);
		while(isdigit(*s))
		d=(d<<3)+(d<<1)+(*s++^'0');
		return*this;
	}
}cin;
struct ostream{
	char buf[8000005],*s;
	inline ostream(){s=buf;}
	inline ostream&operator<<(int d){
		if(!d){
			*s++='0';
		}else{
			static int w;
			for(w=1;w<=d;w*=10);
			for(;w/=10;d%=w)*s++=d/w^'0';
		}
		return*this;
	}
	inline ostream&operator<<(const char&c){*s++=c;return*this;}
	inline void flush(){
		fwrite(buf,1,s-buf,stdout);
		s=buf;
	}
	inline~ostream(){flush();}
}cout;
#else
#include<iostream>
#endif
int pri[170],cct=0,sum[100005][169],num[1005];
void sieve(){
	for(int i=2;i<=1000;++i)num[i]=1;
	for(int i=2;i<=1000;++i)
	if(num[i]){
		pri[num[i]=++cct]=i;
		for(int j=i<<1;j<=1000;j+=i)num[j]=0;
	}
}
using LoveLive=long long;
vector<int>tj;
const int pr[]={2,3,5,24251,61,19260817};
int gcd(int a,int b){
	if(!a||!b)return a|b;
	int t=ctz(a|b);
	a>>=ctz(a);
	do{
		b>>=ctz(b);
		if(a>b)swap(a,b);
		b-=a;
	}while(b);
	return a<<t;
}
inline int power(int a,int b,const int&md){
	int ans=1;
	for(;b;b>>=1){
		if(b&1)ans=(LoveLive)ans*a%md;
		a=(LoveLive)a*a%md;
	}
	return ans;
}
int miller_rabin(int p){
	if(p==2)return 1;
	int b=p-1;
	int t=0;
	while(!(b&1))b>>=1,++t;
	for(int i:pr){
		int r=power(i%(p-2)+2,b,p);
		if(r==1||r==p-1)continue;
		int ok=1;
		for(int j=1;j<=t&&ok;++j){
			r=(LoveLive)r*r%p;
			if(r==p-1)ok=0;
		}
		if(ok)return 0;
	}
	return 1;
}
void pollard_rho(int&n,int c){
	int k=2,x=rand()%(n-1)+1,y=x,q=1,t=1;
	for(;;k<<=1,y=x,q=1){
		for(int i=1;i<=k;++i){
			x=((LoveLive)x*x%n+c)%n;
			q=(LoveLive)q*abs(x-y)%n;
			if(!(i&63)){
				t=gcd(q,n);
				if(t>1)break;
			}
		}
		if(t>1||(t=gcd(q,n))>1)break;
	}
	n=t;
}
void find(int n,int c){
	if(n==1)return;
	if(miller_rabin(n)){tj.push_back(n);return;}
	int p=n;
	while(p>=n)pollard_rho(p,c--);
	n/=p;
	tj.push_back(n),tj.push_back(p);
}
#define N 100005
const int md=19260817;
int n,m,a[N],inv[N],cnt[N],tot[N*2],now=1,ans[N];
int p[N][3];
vector<int>lr;
struct que{
	static const int siz=317;
	int l,r,id;
	inline bool operator<(const que&rhs)const{
		return((l/siz!=rhs.l/siz)?(l<rhs.l):r<rhs.r);
	}
}q[N];
inline void add(int id){
	for(register int i=1;i<=cnt[id];++i)
	now=(LoveLive)now*inv[tot[p[id][i]]]%md*(tot[p[id][i]]+1)%md,++tot[p[id][i]];
}
inline void del(int id){
	for(register int i=1;i<=cnt[id];++i)
	now=(LoveLive)now*inv[tot[p[id][i]]]%md*(tot[p[id][i]]-1)%md,--tot[p[id][i]];
}
int main(){
	srand(19260817);
	sieve();
	cin>>n>>m;
	inv[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;++i)inv[i]=(md-md/i)*1LL*inv[md%i]%md;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		cin>>a[i];
		memcpy(sum[i],sum[i-1],sizeof*sum);
		for(int j=1;j<=cct&&pri[j]*pri[j]<=a[i];++j)
		while(!(a[i]%pri[j])){
			++sum[i][j];
			a[i]/=pri[j];
		}
		if(a[i]>1){
			if(a[i]<=pri[cct]){
				++sum[i][num[a[i]]];
				continue;
			}
			tj.clear();
			find(a[i],23333);
			for(int it:tj)
			p[i][++cnt[i]]=it,lr.push_back(it);
		}
	}
	sort(lr.begin(),lr.end());
	lr.erase(unique(lr.begin(),lr.end()),lr.end());
	for(int i=1;i<=n;++i)
	for(int j=1;j<=cnt[i];++j)p[i][j]=lower_bound(lr.begin(),lr.end(),p[i][j])-lr.begin();
	for(int i=1;i<=m;++i)cin>>q[q[i].id=i].l>>q[i].r;
	sort(q+1,q+m+1);
	for(int i=0;i<n<<1;++i)tot[i]=1;
	for(int i=1,l=1,r=0;i<=m;++i){
		while(r<q[i].r)add(++r);
		while(l>q[i].l)add(--l);
		while(r>q[i].r)del(r--);
		while(l<q[i].l)del(l++);
		int&out=ans[q[i].id];out=now;
		for(int j=1;j<=cct;++j)
		out=(LoveLive)out*(sum[r][j]-sum[l-1][j]+1)%md;
	}
	for(int i=1;i<=m;++i)
	cout<<ans[i]<<'\n';
	return 0;
}

 

  

 

posted @ 2018-12-09 20:23  Mrsrz  阅读(486)  评论(0编辑  收藏  举报