[NOIP2015 提高组] 子串 【计数dp】

题面

https://www.luogu.com.cn/problem/P2679

分析

CCF数据真的水。不过还是要写下正解：

令\(dp[i][j][t][0/1]\)表示\(a\)串前\(i\)个字符，\(b\)串前\(j\)个字符，匹配子串数位t，且第\(i\)位选/不选的方案数。实质上我们是在用\(a\)串匹配\(b\)串，也就是说，一旦匹配上了才会移动\(b\)串的下标，否则只是在对\(i\)进行考虑。

如果第\(i\)位不选，显然\(dp[i][j][t][0]=(dp[i-1][j][t][0]+dp[i-1][j][t][1])\%mod\)

如果\(a[i]=b[j]\),那么\(dp[i][j][t][1]\)有以下几种选择：

• 与\(i-1\)合并成为一个子串，即\(dp[i-1][j-1][t][1]\)

• 单独作为一个子串，即\(dp[i-1][j-1][t-1][0]+dp[i-1][j-1][t-1][1]\)

如果\(a[i] \neq b[j]\)，显然\(dp[i][j][t][1]=0\)。

这样下来的空间是会被卡的，考虑滚动i变为0/1，即\(dp[0/1][j][t][0/1]\)，这也是很套路的一步了。

优化后时间复杂度\(O(nm^2)\)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>

using namespace std;
const int maxn = 1000 + 10;
const int maxm = 200 + 10;
const int mod = 1e9 + 7;
char a[maxn], b[maxm];
int dp[2][maxm][maxm][2];
int n, m, k;

int main() {
    cin >> n >> m >> k;
    scanf("%s%s", a + 1, b + 1);
    dp[0][0][0][0] = dp[1][0][0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            for (int t = 1; t <= k; t++) {
                int opt = i & 1;
                if (a[i] == b[j]) {
                    dp[opt][j][t][0] = (dp[opt ^ 1][j][t][0] + dp[opt ^ 1][j][t][1]) % mod;
                    dp[opt][j][t][1] =
                            (dp[opt ^ 1][j - 1][t][1] +
                             (dp[opt ^ 1][j - 1][t - 1][0] + dp[opt ^ 1][j - 1][t - 1][1]) % mod) %
                            mod;
                } else {
                    dp[opt][j][t][0] = (dp[opt ^ 1][j][t][0] + dp[opt ^ 1][j][t][1]) % mod;
                    dp[opt][j][t][1] = 0;
                }
            }
        }

    printf("%d", (dp[n & 1][m][k][0] + dp[n & 1][m][k][1]) % mod);
}