好题&&未解决题目

1.蓝桥杯2021 A组I题 括号序列

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合法括号对当前仅当左括号数>=右括号数时成立

设\(dp[i][j]\)为前\(i\)个括号中左括号比右括号多\(j\)个的方案数(只添加左括号)

当\(s[i]='('\)时，\(dp[i][j]=dp[i-1][j-1]\)

当\(s[i]=')'\)时，分类如下：

添加\(0\)个左括号：\(dp[i][j]=dp[i-1][j+1]\)；

添加\(1\)个左括号：\(dp[i][j]=dp[i-1][j]\);

添加\(2\)个左括号：\(dp[i][j]=dp[i-1][j-1]\)

...

添加\(j+1\)个左括号：\(dp[i][j]=dp[i-1][0]\)。

故

\[dp[i][j]=dp[i-1][j+1]+dp[i-1][j]+...+dp[i-1][0] \]

错位相减：

\[dp[i][j-1]=dp[i][j]+...+dp[i-1][0] \]

故

\[dp[i][j]=dp[i-1][j+1]+dp[i][j-1] \]

答案即为\(dp[n][min\{i\}]\)

对添加右括号的处理相同，只需要将字符串翻转再取反即可。

参考：此处