HDU - 1043 Eight 【打表、康托展开、反向bfs】

题目简述

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分析

1. 康托展开

对于一个有n!种排列方式的排列组合，康托展开表示的就是是当前排列组合在全排列中的位次。

我们常构建下式来表示康托展开值：

\[X=a[n]*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[1]*0! \]

其中\(a_i\)表示比第i位数字小且前面未出现的数字个数。

举个例子：对于集合{1,2,3,4}，我们取其中一种排列(2 1 4 3)来分析。

①对于第一位2，小于2的数字只有1，故\(a_1=1\)；

②对于第二位1，没有小于1的数字，故\(a_2=0\);

③对于第三位4，小于4的数字只有3，因为1和2出现在了第二位和第一位，故\(a_3=1\);

④对于第四位3，没有小于3的数字，故\(a_4=0\)。

所以康托展开值\(\texttt{x=1*3!+0*2!+1*1!+0*0!=7}\),即比(2 1 4 3)小的排列有7个，故(2 1 4 3)排第8名。

代码如下：

int cantor(int a[],int n){
	int x=0;
	for(int i=0;i<n;i++){
		int small=0;
		for(int j=i+1;j<n;j++){
			if(a[j]<a[i]) small++;
		}
		x+=small*fact[n-i-1];
	}
	return x+1;
} //康托展开 

2. 逆康托展开

康托展开实质是建立全排列与自然数的双射，故而是可逆的。

还是以(2 1 4 3)为例，假设我们已知由1234组成的某个全排列，其康托展开值为7，那我们可以进行逆运算：

①7/3!=1余1,说明有1个数比第一位小，故\(a_1=2\);

②1/2!=0余1，说明没有数比第二位小，故\(a_2=1\)；

③1/1!=1余0，说明有1个数比第三位小，故\(a_3=4\)（算上已出现的1和2，再加一位）；

④0/0!=0，说明没有数比第四位小，故\(a_4=3\)。

故逆康托展开的结果是(2 1 4 3)。

一般化上述过程，即可得到对应代码：

void recantor(int a[],int val,int n){
	vector<int> v;
	for(int i=0;i<n;i++) v.push_back(i);
	for(int i=0;i<n;i++){
		int l=0,r=0;
		l=val/fact[n-i-1];
		r=val%fact[n-i-1];
		val=r;
		sort(v.begin(),v.end());
		a[i]=v[l];
		v.erase(v.begin()+l);
	}
	return;
}//逆康托展开 

3. bfs过程

首先我们需要确定的是，因为已知终点，故逆序bfs是优于从起点开始的正序\(bfs\)的（后者实测\(MLE\)）

在每次遍历到新位置\(temp\)时，我们将其与上一个状态\(curr\)的位置交换，将\(temp\)的康托展开值进行更新，同时记录轨迹（将康托展开值变为下标）。

注意G++会炸，转C++提交(手动流汗黄豆)。

AC代码参考：https://blog.csdn.net/laaahu/article/details/96467188