DP总结复习回顾
观自在菩萨
参考了Peppa_Even_Pig相关文章
什么是DP呢
动态规划算法是通过拆分问题，定义问题状态和状态之间的关系，使得问题能够以递推（或者说分治）的方式去解决。 动态规划算法的基本思想与分治法类似，也是将待求解的问题分解为若干个子问题（阶段），按顺序求解子阶段，前一子问题的解，为后一子问题的求解提供了有用的信息。在求解任一子问题时，列出各种可能的局部解，通过决策保留那些有可能达到最优的局部解，丢弃其他局部解。依次解决各子问题，最后一个子问题就是初始问题的解。
能采用DP去做的前提一般具有的性质
1、最优子结构；2、无后效性（不被前面影响）；
背包DP
<1>01背包
有N件物品和一个容量是V的背包，每件物品只能使用一次。 第i件物品的体积是Vi,价值是Wi. 求将哪些物品装入背包，使其总体积不超过背包容量，且总价值最大。输入N，V后，接下来N行，输入Vi,Wi。
问题分析：
01背包本质是由上层状态转移而来（满足条件的前提），由于其只能选一次，状态的转移沿对角线方向；初始化为题目所要求；（一般为f[0][0] = 0; memset(f, 0, sizeof(f));）；
当某一层状态转移满时，其后的状态可能会出现不可预料的错误（一般是由于初始化导致的）（初始化非常重要！！！）（其实最优解就在最后一行的某个地方）；当初始化为0xcf时， 可能会出现f[][]数组中有0xcf+符合条件的最优价值的情况；cout << f[n][m]; 也无法出现最优解；（其实f数组中可能根本没有最优解，（初始化已经出现错误，体现了初始化的重要性），max也没用）；
朴素做法：
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#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
int f[2005][2005]; //f[i][j]表示前i件物品，容量为j时最大价值；
int m, n;
int w[10005], c[10005];
int main() {
cin >> m >> n;
memset(f, 0, sizeof(f));
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> w[i] >> c[i];
}
f[0][0] = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 0; j <= m; j++) {
f[i][j] = f[i - 1][j];
}
for (int j = w[i]; j <= m; j++) {
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - w[i]] + c[i]);
}
}
cout << f[n][m];
return 0;
}
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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int c[10005], w[10005]; //w[i]为第i件物品的重量，c[i]为第i件物品的价值；
int f[10005]; //f[i]为 容量为i时的最大价值；
int m, n; //m为背包容量，n为总物品数量；
int main() {
cin >> m >> n;
memset(f, 0, sizeof(f)); //初始化，等待赋值；
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> w[i] >> c[i];
}
f[0] = 0; //初始化，当容量为0时最大价值为0；
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = m; j >= w[i]; j--) {
f[j] = max(f[j], f[j - w[i]] + c[i]);
}
}
cout << f[m];
return 0;
}
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#include<bits/stdc++.h>
#define N 1145
using namespace std;
int v[N],w[N];
int n,V;
int f[N];
int main()
{
cin>>n>>V;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=V;j>=v[i];j--)
{
f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
}
}
cout<<f[V];
return 0;
}
<2>完全背包
也就是将物品改成无限个。
在上面Q&A中已经提及，只需把内层循环顺序即可。
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#include<bits/stdc++.h>
#define N 100000
using namespace std;
int m,n;
int f[N],v[N],w[N];
int ans;
int main()
{
cin>>m>>n;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=v[i];j<=m;j++)
{
f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
}
}
cout<<"max="<<f[m];
return 0;
}
<3>多重背包
也就是一个物品取有限次。
朴素版本：
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#include<bits/stdc++.h>
#define N 1010
using namespace std;
int f[N],v[N],w[N],c[N];
int n,m;
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i]>>c[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=c[i];j++)
{
for(int k=m;k>=v[i];k--)
{
f[k]=max(f[k],f[k-v[i]]+w[i]);
}
}
}
cout<<f[m];
return 0;
}
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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, m, num;
int w[1000005], c[1000005]; //要开大一点，因为要分解；
int f[1000005];
int main() {
cin >> n >> m; //物品数量和背包容积；
int a, b, num; //每件物品的重量，价值，个数；
int cnt = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> a >> b >> num;
for (int j = 1; j <= num; j <<= 1) { // j *= 2；
w[++cnt] = a * j;
c[cnt] = b * j;
num -= j; //这样就可以保证每件物品只能选一次（因为如果选多次就超过了原来的num；
}
if (num) { //如果num不能完全分解，那就把剩下的直接存入；
w[++cnt] = a * num;
c[cnt] = b * num;
}
}
for (int i = 1; i <= cnt; i++) {
for (int j = m; j >= w[i]; j--) {
f[j] = max(f[j], f[j - w[i]] + c[i]);
}
}
cout << f[m];
return 0;
}
<4>混合背包
混就完事了
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#include<bits/stdc++.h>
#define N 10010
using namespace std;
int m,n;
int f[N],w[N],v[N],s[N];
int main()
{
cin>>m>>n;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i]>>s[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(s[i]==0)
{
for(int j=v[i];j<=m;j++)
{
f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
}
}else
{
for(int j=1;j<=s[i];j++)
{
for(int k=m;k>=v[i];k--)
{
f[k]=max(f[k],f[k-v[i]]+w[i]);
}
}
}
}
cout<<f[m];
return 0;
}
<5>分组背包
一个旅行者有一个最多能用V公斤的背包，现在有n件物品，它们的重量分别是W1，W2，...,Wn，它们的价值分别为C1,C2,...,Cn。
这些物品被划分为若干组，每组中的物品互相冲突，最多选一件。
求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
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#include<bits/stdc++.h>
#define N 10010
using namespace std;
int m,n,t;
int f[N],v[201][201],w[201][201],s[N];
int tot;
int main()
{
cin>>m>>n>>t;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int a,b,c;
cin>>a>>b>>c;
s[c]++;
v[c][s[c]]=a;
w[c][s[c]]=b;
}
for(int i=1;i<=t;i++)
{
for(int j=m;j>=0;j--)
{
for(int k=1;k<=s[i];k++)
{
if(j>=v[i][k])
{
f[j]=max(f[j],f[j-v[i][k]]+w[i][k]);
}
}
}
}
cout<<f[m];
return 0;
}
线性DP
例题：
求最长上升序列
设有由n个不相同的整数组成的数列，记为:b(1)、b(2)、……、b(n)且b(i)<>b(j) (i<>j)，若存在i1<i2<i3< … < ie 且有b(i1)<b(i2)< … <b(ie)则称为长度为e的不下降序列。程序要求，当原数列出之后，求出最长的上升序列。例如13，7，9，16，38，24，37，18，44，19，21，22，63，15。例中13，16，18，19，21，22，63就是一个长度为7的不下降序列，同时也有7 ，9，16，18，19，21，22，63长度为8的不下降序列。
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#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
int a[100005];
int f[100005];
int g[100005];
int n;
void output(int x) { //递归输出序列；
if (x) {
cout << a[x] << ' '; //倒序输出，因为下面i是倒着找的，所以这里要正序输出；
output(g[x]);
}
}
int main() {
memset(a, 0, sizeof(a));
memset(g, 0, sizeof(g));
n = 1;
while(scanf("%d", &a[n]) != EOF) n++;
n--;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
f[i] = 1; //当长度（最后一位下标）为1时，最长上升序列长度为1；
}
int ma = -1;
for (int i = n - 1; i >= 1; i--) { //倒序循环，一步步往前更新；
for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
if (a[i] < a[j]) { //要求其他序列，改成其它不等符号即可；
if (f[i] < f[j] + 1) {
f[i] = f[j] + 1;
g[i] = j;
}
}
ma = max(ma, f[i]);
}
}
cout << ma << endl; //序列最长长度；
ma = -1;
int o = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (ma < f[i]) {
ma = f[i];
o = i; //找出最大f的下标；
}
}
output(o); //递归输出；
return 0;
}
区间DP
设f[i][j]表示区间i到j上的最优解，可以运用分治的思想，将此区间分成f[i][k]和f[k + 1][j] + 合并这两个区间的价值，依次枚举k并比较大小，同时更新f[i][j]，最后输出所需区间的最大值；
可以发现，区间DP是属于线性DP的，其在线性基础上运行，但和线性DP不同，它的特征是分治，这也是写状态转移方程的重要依据。
这里附上hszxoj上的一些例题：
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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
int f[501][501],sum[501];
int mmin,mmax;
int main()
{
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int t;
cin>>t;
sum[i]=sum[i-1]+t;
}
memset(f,0x3f,sizeof(f));
for(int i=1;i<=n;i++) f[i][i]=0;
for(int len=2;len<=n;len++)
{
for(int l=1;l<=n-len+1;l++)
{
int r=l+len-1;
for(int k=l;k<r;k++)
{
f[l][r]=min(f[l][r],f[l][k]+f[k+1][r]);
}
f[l][r]+=sum[r]-sum[l-1];
mmin=max(mmin,f[l][r]);
}
}
cout<<mmin<<endl;
memset(f,0,sizeof(f));
for(int i=2;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=n-i+1;j++)
{
int r=i+j-1;
for(int k=j;k<r;k++)
{
f[j][r]=max(f[j][r],f[j][k]+f[k+1][r]);
}
f[j][r]+=sum[r]-sum[j-1];
mmax=max(mmax,f[j][r]);
}
}
cout<<mmax;
return 0;
}
石子合并 （环）
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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
int f[114*2+1][114*2+1],sum[114*2+1];
int a[114*2+1];
int mmax,mmin=0x3f3f3f;
int main()
{
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>a[i];
a[n+i]=a[i];
}
for(int i=1;i<=2*n;i++) sum[i]=sum[i-1]+a[i]; //用2*n模拟环
// for(int i=1;i<=n+n;i++)
// {
// cout<<sum[i]<<" ";
// }
for(int len=2;len<=n;len++)
{
for(int i=1;i<=2*n-len+1;i++)
{
int j=len+i-1;
for(int k=i;k<j;k++)
{
f[i][j]=max(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]);
}
f[i][j]+=sum[j]-sum[i-1];
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
mmax=max(mmax,f[i][i+n-1]);
}
memset(f,0x3f,sizeof(f));
for(int i=1;i<=2*n;i++) f[i][i]=0;
for(int len=2;len<=n;len++)
{
for(int i=1;i<=2*n-len+1;i++)
{
int j=len+i-1;
for(int k=i;k<j;k++)
{
f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]);
}
f[i][j]+=sum[j]-sum[i-1];
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
mmin=min(mmin,f[i][i+n-1]);
}
cout<<mmin<<endl<<mmax;
return 0;
}
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for (int len = 2; len <= 总长度; len++) { //枚举区间长度；
for (int i = 1; i + len - 1 <= 总长度; i++) { //枚举区间左端点；
int j = i + len - 1; //区间右端点；
for (int k = i; k < j; k++) { //枚举区间中的断点；
f[i][j] = max(f[i][j], f[i][k] + f[k + 1][j] + value); //这里的+号可以依题意变为其它的，value为合并这两个区间所能产生的价值，因题而异；
}
}
}
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