【小知识酷】《高数》章节练习

一阶微分方程的三种类型

一、判断方法

• 齐次方程：一阶微分方程形如(\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x}))的形式为齐次方程 。即把方程中的(y)和(x)看作整体，若能写成关于(\frac{y}{x})的函数形式，就是齐次方程。
• 可分离变量方程：能写成(g(y)dy = f(x)dx)形式的一阶微分方程，也就是方程两边可以分别整理成只含(y)的表达式与(dy)的乘积以及只含(x)的表达式与(dx)的乘积。
• 一阶线性微分方程：标准形式为(\frac{dy}{dx}+P(x)y = Q(x)) ，其中(P(x))和(Q(x))是关于(x)的已知函数。当(Q(x)=0)时，为一阶线性齐次方程；当(Q(x) \neq0)时，为一阶线性非齐次方程。

二、选择题及答案解析

1. 方程(\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+\cos(\frac{y}{x}))是（ ）
   A. 齐次方程
   B. 可分离变量方程
   C. 一阶线性微分方程
   D. 以上都不是
   答案：A
   解析：方程可写成(\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x}))的形式，其中(f(u)=u + \cos u)（(u = \frac{y}{x})），符合齐次方程的定义。
2. 方程(\frac{dy}{dx}=x^{2}y)是（ ）
   A. 齐次方程
   B. 可分离变量方程
   C. 一阶线性微分方程
   D. 以上都不是
   答案：B
   解析：将方程变形为(\frac{dy}{y}=x^{2}dx)，符合(g(y)dy = f(x)dx)的形式，是可分离变量方程。
3. 方程(\frac{dy}{dx}+2xy = e^{x})是（ ）
   A. 齐次方程
   B. 可分离变量方程
   C. 一阶线性微分方程
   D. 以上都不是
   答案：C
   解析：方程符合一阶线性微分方程的标准形式(\frac{dy}{dx}+P(x)y = Q(x)) ，其中(P(x)=2x)，(Q(x)=e^{x}) 。
4. 方程(\frac{dy}{dx}=\frac{y^{2}-x{2}}{xy})是（ ）
   A. 齐次方程
   B. 可分离变量方程
   C. 一阶线性微分方程
   D. 以上都不是
   答案：A
   解析：对(\frac{y^{2}-x{2}}{xy})变形可得(\frac{y}{x}-\frac{x}{y}=\frac{y}{x}-\frac{1}{\frac{y}{x}}) ，即(\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x}))，属于齐次方程。
5. 方程(y\frac{dy}{dx}=x + 1)是（ ）
   A. 齐次方程
   B. 可分离变量方程
   C. 一阶线性微分方程
   D. 以上都不是
   答案：B
   解析：变形为(ydy=(x + 1)dx)，满足可分离变量方程(g(y)dy = f(x)dx)的形式。
6. 方程(\frac{dy}{dx}=\frac{2y + 3x}{y - x})是（ ）
   A. 齐次方程
   B. 可分离变量方程
   C. 一阶线性微分方程
   D. 以上都不是
   答案：A
   解析：分子分母同时除以(x)，得到(\frac{dy}{dx}=\frac{2\frac{y}{x}+3}{\frac{y}{x}-1}) ，是(\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x}))的形式，为齐次方程。
7. 方程(\frac{dy}{dx}-3y = 0)是（ ）
   A. 齐次方程
   B. 可分离变量方程
   C. 一阶线性微分方程
   D. 以上都不是
   答案：C
   解析：符合一阶线性微分方程(\frac{dy}{dx}+P(x)y = Q(x))的形式，这里(P(x)= - 3)，(Q(x)=0) ，是一阶线性齐次方程。
8. 方程(\frac{dy}{dx}=e^{x - y})是（ ）
   A. 齐次方程
   B. 可分离变量方程
   C. 一阶线性微分方程
   D. 以上都不是
   答案：B
   解析：由(e^{x - y}=\frac{e^{x}}{e{y}})，方程可化为(e^{y}dy = e^{x}dx)，是可分离变量方程。
9. 方程(\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x^{2}+y{2}})是（ ）
   A. 齐次方程
   B. 可分离变量方程
   C. 一阶线性微分方程
   D. 以上都不是
   答案：D
   解析：它既不能写成(\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x}))的形式，也不能写成(g(y)dy = f(x)dx)的形式，同时不符合一阶线性微分方程的标准形式。
10. 方程(\frac{dy}{dx}+y\tan x=\sec x)是（ ）
    A. 齐次方程
    B. 可分离变量方程
    C. 一阶线性微分方程
    D. 以上都不是
    答案：C
    解析：符合一阶线性微分方程(\frac{dy}{dx}+P(x)y = Q(x))的形式，其中(P(x)=\tan x)，(Q(x)=\sec x) 。这条消息已经在编辑器中准备就绪。你想如何调整这篇文档?请随时告诉我。

二阶微分的特解形式

对于二阶线性非齐次微分方程(y'' + p y' + qy = f(x))（(p)、(q)为常数），求其特解(y^*)的形式，一般按以下思路和步骤进行：

1. 确定对应的齐次方程并求其特征方程

对于给定的二阶线性非齐次微分方程(y'' + 4y' - 5y = 5xe^x)，其对应的齐次方程为(y'' + 4y' - 5y = 0)。特征方程为(r^2 + 4r - 5 = 0) 。

2. 求解特征方程

对(r^2 + 4r - 5 = 0)进行因式分解，得到((r + 5)(r - 1)=0) ，解得特征根(r_1 = 1)，(r_2 = - 5) 。

3. 分析非齐次项(f(x))的形式

非齐次项(f(x)=5xe^{x)，属于(P_m(x)e})型，其中(P_m(x))=5x，x的次数为1，，(Q_m(x))与(P_m(x))同次，即(A)（(A)为待定系数）

4. 根据(\lambda)与特征根的关系确定特解形式

• 若(\lambda)不是特征方程的根，则特解形式为(y^* = Q_m(x)e^{\lambda x})，(Q_m(x))是与(P_m(x))同次的多项式。
• 若(\lambda)是特征方程的单根，则特解形式为(y^* = xQ_m(x)e^{\lambda x}) 。
• 若(\lambda)是特征方程的重根，则特解形式为(y^* = x^2Q_m(x)e) 。

在本题中，(\lambda = 1)是特征方程(r^2 + 4r - 5 = 0)的单根（因为特征根为(r_1 = 1)，(r_2 = - 5) ），(P_m(x))是一次多项式，所以(Q_m(x))也设为一次多项式(Ax + B) ，特解形式为(y^* = x(Ax + B)e^x) 。

综上，答案选D。

填空题

1. 求微分方程(y'' - 3y' + 2y = 3e^{2x})的特解形式为______ 。【重点】
2. 求微分方程(y'' + 5y' + 6y = x^2e)的特解形式为______ 。
3. 求微分方程(y'' - 4y' + 4y = \sin(2x))的特解形式为______ 。
4. 求微分方程(y'' + y = 2xe^{3x})的特解形式为______ 。 【重点】
5. 求微分方程(y'' - 2y' + 5y = e^x\cos(2x))的特解形式为______ 。
6. 求微分方程(y'' + 2y' = 3x + 1)的特解形式为______ 。 【重点】
7. 求微分方程(y'' - 9y = 4e^{3x} + x)的特解形式为______ 。 【重点】
8. 求微分方程(y'' + 4y' + 4y = x^3e)的特解形式为______ 。 【重点】
9. 求微分方程(y'' - y' - 2y = \cos(x)e^{2x})的特解形式为______ 。
10. 求微分方程(y'' + 3y' + 2y = 5e^{-x}\sin(x))的特解形式为______ 。

答案及解析

1. 答案：(Axe^{2x})
   解析：①特征方程(r^2 - 3r + 2 = 0)，因式分解得((r - 1)(r - 2)=0)，特征根(r_1 = 1)，(r_2 = 2)。②非齐次项(3e^{2x})中(\lambda = r_2 = 2)是单根，及k=1。对于(P_m(x)e^{\lambda x})，这里(P_m(x)=3)为(0)次多项式，(Q_m(x))与(P_m(x))同次，即(A)（(A)为待定系数）。所以特解形式为(x^{k}eQ_m(x)) = (x^1eA) = (xe^{2x}A) 。
2. 答案：((Ax^2 + Bx + C)e^{-x})
   解析：特征方程(r^2 + 5r + 6 = 0)，因式分解得((r + 2)(r + 3)=0)，特征根(r_1 = - 2)，(r_2 = - 3) 。非齐次项(x^2e)中(\lambda = - 1)不是特征根，(P_m(x)=x^{2)是二次多项式，特解形式为(Q_m(x)e}) ，(Q_m(x))与(P_m(x))同次，即(Ax^2 + Bx + C)（(A)、(B)、(C)为待定系数），所以特解形式为((Ax^2 + Bx + C)e^{-x}) 。
3. 答案：(A\cos(2x) + B\sin(2x))
   解析：特征方程(r^2 - 4r + 4 = 0)，即((r - 2)^2 = 0)，特征根(r = 2)（二重根）。非齐次项(\sin(2x))，可看作(0\cdot e^{0x}\sin(2x))，(\lambda = 0)不是特征根，对于(e^{\lambda x}[P_l(x)\cos(\omega x)+P_n(x)\sin(\omega x)])（这里(P_l(x)=0)，(P_n(x)=1) ），特解形式为(e^{\lambda x}[Q_l(x)\cos(\omega x)+Q_n(x)\sin(\omega x)]) ，(Q_l(x))、(Q_n(x))次数与(P_l(x))、(P_n(x))同次，即(A)、(B)（(A)、(B)为待定系数），所以特解形式为(A\cos(2x) + B\sin(2x)) 。
4. 答案：((Ax + B)e^{3x})
   解析：①特征方程(r^2 + 1 = 0)，特征根(r = \pm i) 。②非齐次项(2xe^{3x})中(\lambda = 3)不是特征根，及k=0。③ (P_m(x)=2x)是一次多项式，(Q_m(x))与(P_m(x))同次，即(Ax + B)（(A)、(B)为待定系数）。所以特解形式为(x^{k}eQ_m(x)) = (x^{0}eQ_m(x)) = (e^{3x}(Ax + B)) 。
5. 答案：(e^x(A\cos(2x) + B\sin(2x)))
   解析：特征方程(r^2 - 2r + 5 = 0)，根据求根公式(r=\frac{2\pm\sqrt{4 - 20}}{2}=1\pm2i) 。非齐次项(e^x\cos(2x))，(\lambda = 1)不是特征根，对于(e^{\lambda x}[P_l(x)\cos(\omega x)+P_n(x)\sin(\omega x)]) ，特解形式为(e^{\lambda x}[Q_l(x)\cos(\omega x)+Q_n(x)\sin(\omega x)]) ，(Q_l(x))、(Q_n(x))次数与(P_l(x))、(P_n(x))同次，即(A)、(B)（(A)、(B)为待定系数），所以特解形式为(e^x(A\cos(2x) + B\sin(2x))) 。
6. 答案：(x(Ax + B))
   解析：①特征方程(r^2 + 2r = 0)，因式分解得(r(r + 2)=0)，特征根(r_1 = 0)，(r_2 = - 2)。②非齐次项(3x + 1)可看作((3x + 1)e^{0x})，(\lambda = 0)是单根，及k=1。③(P_m(x)=3x + 1)是一次多项式，(Q_m(x))与(P_m(x))同次，即(Ax + B)（(A)、(B)为待定系数）。所以特解形式为(x^{k}eQ_m(x)) = (x^1e(Ax + B)) = (x(Ax + B))。
7. 答案：(Axe^{3x}+(Bx + C))
   解析：①特征方程(r^2 - 9 = 0)，因式分解得((r + 3)(r - 3)=0)，特征根(r_1 = 3)，(r_2 = - 3) 。②非齐次项(4e^{3x} + x)，对于(4e^{3x})，(\lambda = 3)是单根，及k=1。③(Q_m(x))=4，为(0)次多项式即(A)（(A)为待定系数），所以这部分特解为(x^{k}eQ_m(x)) = (x^{1}eA) = (xe^{3x}A)；④对于(x)可看作(x e^{0x})，(\lambda = 0)不是特征根，及k=0。⑤ (P_m(x)=x)是一次多项式，(Q_m(x))与(P_m(x))同次，即(Bx + C)（(B)、(C)为待定系数），所以这部分特解为(x^{k}eQ_m(x)) = (x^{0}e(Bx+C))= ((Bx+C)) ；⑥ 综合起来特解形式为(Axe^{3x}+(Bx + C)) 。
8. 答案：(x^2(Ax3 + Bx^2 + Cx + D)e^{-2x})
   解析：①特征方程(r^2 + 4r + 4 = 0)，即((r + 2)^2 = 0)，特征根(r = - 2)（二重根）。②非齐次项(x^3e)中(\lambda = - 2)是二重根，及k=2。③(P_m(x)=x^{3)是三次多项式，(Q_m(x))与(P_m(x))同次，即(Ax}3 + Bx^2 + Cx + D)（(A)、(B)、(C)、(D)为待定系数），所以特解形式为(x^{k}eQ_m(x)) = (x^{2}eQ_m(x)) = (x^2e(Ax^3 + Bx^2 + Cx + D)) 。
9. 答案：(x(A\cos(x) + B\sin(x))e^{2x})
   解析：① 特征方程(r^2 - r - 2 = 0)，因式分解得((r - 2)(r + 1)=0)，特征根(r_1 = 2)，(r_2 = - 1) 。② 非齐次项(\cos(x)e^{2x})中(\lambda = 2)是单根，及k=1。对于(e^{\lambda x}[P_l(x)\cos(\omega x)+P_n(x)\sin(\omega x)]) ，特解形式为(x e^{\lambda x}[Q_l(x)\cos(\omega x)+Q_n(x)\sin(\omega x)]) ，(Q_l(x))、(Q_n(x))次数与(P_l(x))、(P_n(x))同次，即(A)、(B)（(A)、(B)为待定系数），所以特解形式为(x(A\cos(x) + B\sin(x))e^{2x}) 。
10. 答案：(x(A\cos(x) + B\sin(x))e^{-x})
    解析：特征方程(r^2 + 3r + 2 = 0)，因式分解得((r + 1)(r + 2)=0)，特征根(r_1 = - 1)，(r_2 = - 2) 。非齐次项(5e^{-x}\sin(x))中(\lambda = - 1)是单根，对于(e^{\lambda x}[P_l(x)\cos(\omega x)+P_n(x)\sin(\omega x)]) ，特解形式为(x e^{\lambda x}[Q_l(x)\cos(\omega x)+Q_n(x)\sin(\omega x)]) ，(Q_l(x))、(Q_n(x))次数与(P_l(x))、(P_n(x))同次，即(A)、(B)（(A)、(B)为待定系数），所以特解形式为(x(A\cos(x) + B\sin(x))e^{-x}) 。

单选题

1. 方程 (y'' - 4y' + 4y = 3e^{2x}) 的特解形式为（ ）
   A. (Ae^{2x})
   B. (Axe^{2x})
   C. (Ax^2e)
   D. ((Ax + B)e^{2x})

答案：C
解析：特征方程 (r^2 - 4r + 4 = 0) 的根为 (r = 2)（二重根）。非齐次项为 (e^{2x})，(\lambda = 2) 是二重根，故特解形式为 (x^2Ae)。

2. 方程 (y'' + 4y = \sin(2x)) 的特解形式为（ ）
   A. (A\sin(2x))
   B. (A\cos(2x) + B\sin(2x))
   C. (x(A\cos(2x) + B\sin(2x)))
   D. (x^2(A\cos(2x) + B\sin(2x)))

答案：C
解析：特征方程 (r^2 + 4 = 0) 的根为 (r = \pm 2i)。非齐次项为 (\sin(2x))，(\lambda = 2i) 是特征根，故特解形式为 (x(A\cos(2x) + B\sin(2x)))。

3. 方程 (y'' - 3y' + 2y = x e^x) 的特解形式为（ ）
   A. ((Ax + B)e^x)
   B. (x(Ax + B)e^x)
   C. (x^2(Ax + B)e^x)
   D. (Axe^x)

答案：B
解析：特征方程 (r^2 - 3r + 2 = 0) 的根为 (r = 1, 2)。非齐次项为 (xe^x)，(\lambda = 1) 是单根，故特解形式为 (x(Ax + B)e^x)。
4. 方程 (y'' + y = x^2) 的特解形式为（ ）
A. (Ax^2 + Bx + C)
B. (x(Ax^2 + Bx + C))
C. (x^2(Ax2 + Bx + C))
D. (Ae^{x2})
答案：A
解析：特征方程 (r^2 + 1 = 0) 的根为 (r = 0\pm 1i)。非齐次项为 (x^2)，(\lambda = 0) 不是特征根，故特解形式为 (Ax^2 + Bx + C)。
5. 方程 (y'' - 2y' + y = e^x) 的特解形式为（ ）
A. (Ae^x)
B. (Axe^x)
C. (Ax^2ex)
D. (x(Ae^x + B))
答案：C
解析：特征方程 (r^2 - 2r + 1 = 0) 的根为 (r = 1)（二重根）。非齐次项为 (e^x)，(\lambda = 1) 是二重根，故特解形式为 (Ax^2ex)。
6. 方程 (y'' + 4y' = 3) 的特解形式为（ ）
A. (A)
B. (Ax)
C. (Ax + B)
D. (Ae^{4x})
答案：B
解析：特征方程 (r^2 + 4r = 0) 的根为 (r = 0, -4)。非齐次项为常数 (3)，(\lambda = 0) 是单根，故特解形式为 (Ax)。
7. 方程 (y'' + 9y = \cos(3x)) 的特解形式为（ ）
A. (A\cos(3x))
B. (A\cos(3x) + B\sin(3x))
C. (x(A\cos(3x) + B\sin(3x)))
D. (x^2(A\cos(3x) + B\sin(3x)))
答案：C
解析：特征方程 (r^2 + 9 = 0) 的根为 (r = \pm 3i)。非齐次项为 (\cos(3x))，(\lambda = 3i) 是特征根，故特解形式为 (x(A\cos(3x) + B\sin(3x)))。
8. 方程 (y'' - 5y' + 6y = x e^{2x}) 的特解形式为（ ）
A. ((Ax + B)e^{2x})
B. (x(Ax + B)e^{2x})
C. (x^2(Ax + B)e^{2x})
D. (Ae^{2x})
答案：B
解析：特征方程 (r^2 - 5r + 6 = 0) 的根为 (r = 2, 3)。非齐次项为 (xe^{2x})，(\lambda = 2) 是单根，故特解形式为 (x(Ax + B)e^{2x})。
9. 方程 (y'' + y' = x) 的特解形式为（ ）
A. (Ax + B)
B. (x(Ax + B))
C. (x^2(Ax + B))
D. (A)
答案：B
解析：特征方程 (r^2 + r = 0) 的根为 (r = 0, -1)。非齐次项为 (x)，(\lambda = 0) 是单根，故特解形式为 (x(Ax + B))。
10. 方程 (y'' - 4y = e^{2x} + \cos(2x)) 的特解形式为（ ）
A. (Ae^{2x} + B\cos(2x) + C\sin(2x))
B. (Axe^{2x} + B\cos(2x) + C\sin(2x))
C. (Ae^{2x} + x(B\cos(2x) + C\sin(2x)))
D. (Axe^{2x} + x(B\cos(2x) + C\sin(2x)))
答案：D
解析：特征方程 (r^2 - 4 = 0) 的根为 (r = \pm 2)。非齐次项由 (e^{2x})（(\lambda = 2) 是单根）和 (\cos(2x))（(\lambda = 2i) 不是特征根）组成。特解形式为 (x(Ae^{2x}) + (B\cos(2x) + C\sin(2x)))，合并后为 (Axe^{2x} + x(B\cos(2x) + C\sin(2x)))。