二分查找

对于一个有序的序列，可以用二分查找的方式快速找到某一元素。顾名思义，二分查找就是利用二分的思想，通过将要查找的元素与区间中点值比较，大体确定元素位置，舍弃一半的元素，因此效率很高。

c++ STL库中提供了这类函数：lower_bound和upper_bound。其中lower_bound是返回有序序列中某元素出现的第一个位置，而upper_bound返回的是某元素出现的最后一个位置的下一个位置。若序列中没有要查找的元素，则会返回一个位置i，使得在i处插入该元素，并将原来的a[i],a[i+1],...向后移动后，序列仍然有序。

其实，这两个函数的简化版也可以自己实现。

int lower_bound(int x) {
    int l=1,r=n,m;
    while(l!=r) {
        m=l+(r-l)/2;
        if(a[m]>=x) r=m;
        else l=m+1;
    }
    return l;
}

int upper_bound(int x) {
    int l=1,r=n,m;
    while(l!=r) {
        m=l+(r-l)/2;
        if(a[m]<=x) l=m+1;
        else r=m;
    }
    return l;
}

关键在于更新区间范围的时候，以lower_bound为例，当a[m]=x时，说明找到了一个x，而左边可能还有，因此r=m；当a[m]>x时，说明该元素可能在左侧，同上；当a[m]<x时，说明该元素在右侧，因此l=m+1。