极化码小结(2)

Chapter2 极化码的编码

  极化码的编码问题主要包括两个方面。

  首先是生成矩阵的构造:

生成矩阵GN:

  先来看信道合并示意图,下图截自Arikan论文(以后不再解释,Arikan论文 特指论文《Channel polarization: A method for constructing capacity-achieving codes for symmetric binary-input memoryless channels》):

  请读者留意这是fig.3,也即图三。根据这张图所表现的形式,我们可以归纳出GN的表达式:

疑问:这个表达式如何得到?它与上图有什么对应关系?

  我们来看等式右端第一部分:

  观察RN前面的表达式,符号“”是一种矩阵运算,称为“克罗内克积”,详细内容读者可自行查阅维基百科词条:克罗内克积-维基百科;“F”定义为矩阵,F的定义又有何意义呢?我们用一个二维向量来测试一下:,可见用输入向量左乘F矩阵,就能够实现图中第一步线性变换。当N>2时,由于F只有二维,为了完成运算,我们通过克罗内克积的办法在保持F矩阵属性的同时扩展它的维度,使得它满足我们的运算要求。所以RN前面的运算可以与上图中的线性变换对应起来。

  RN对应图中的自身,这个不需要再说。

  观察RN的右端,I2为二维的单位矩阵,GN/2则体现了递推、迭代的思想。用I2与GN进行克罗内克积,就是为了实现生成矩阵的递推和迭代。这部分对应了图中最右端的操作。因此我们可以看到,Arikan给出的生成矩阵的定义式确实与上图是完全对应的。

  接下来,Arikan又po出了另一张图:

  这是fig.8,它与fig.3的不同之处在于,fig.3中先进行线性变换再进行置换操作,而fig.8中先进行置换操作再进行线性变换。根绝Arikan的说法,这两个图是全等的。fig.8对应的公式为:,也就是说这两个公式是等价的:

  那么这一步是如何得到的呢?如何证明这两个图是全等的呢?这里有一份我以前证明时留下的手稿,具体的过程我没有精力再排版打出来,看客如果对这个证明有兴趣,不妨作为参考。不过这些细节就算不了解,也不妨碍我们对极化码理论的学习。就像数学教科书的上的许多定理公式,更多时候重点在于如何去理解和应用。

  让我们回到Arikan的论文中,继续看他是如何一步一步得到GN的构造方法的。

  上面这个公式第一行我们已经证明过了,从第一行到第二行的理论支持来自于克罗内克积的混合乘积性质:

  图片来自克罗内克积-维基百科

  我们继续往下看:

  这个就很好理解了,直接迭代代入GN/2然后利用混合乘积性质的逆定理就可以得到了。重复上述操作,不断进行迭代,最后我们可以得到这样一个式子:

  其中BN用来代替迭代所产生的式子:。BN可以写成递推公式:

  得到上面的公式之后,我们很容易就可以计算出BN并求出GN

  再来看信息位的选取:

信息位选取:

  通过上一节的介绍,我们了解到了信道的极化现象,并且认识到正是信道极化现象催生了极化码。现在,我们就要利用这个现象来构造极化码。根据我们所设想的,通过在误差率较低的信道(无噪信道)上传输有用信息,在误差较高的信道(纯噪信道)上传输信息量为0的信息,我们可以实现在有噪信道下进行无噪传输。

  因此,如何挑选要传输信息的信道成为了至关重要的事情。在表征信道质量的参数向量P中,我们称传输有用信息的位为信息位,传输无用信息的位为冻结位。问题变成了如何求出这个参数向量P。只要我们求得这个P,然后对它进行从小到大的排序,再根据码率确定要用到多少信息位,然后从排好序的P中挑选出性能最好的那部分,就可以实现我们的需求。

  Arikan的论文中这样说道:“对于一个给定的B-DMC信道W,本论文对信道的两个参数感兴趣:一个是信道的对称容量I(W):

  I(W)代表了等概率输入下,通过信道W进行可靠信息传输的最大速率。第二个称为巴氏参数Z(W):

  巴氏参数代表了在一次通过W传输0或1时,最大似然判决错误概率的上限。显然,Z(W)反映了信道的可靠度 。

  显然,我们可以分别将这两个参数作为参数向量P,对于I(W),我们选择较大的I(W)作为信息位;对于Z(W),我们选择较小的Z(W)作为信息位。

  早期Arikan提出,当W为BEC(二进制删除信道)时,有,计算二者中的任何一个都可以。Arikan论文中有Z(W)的递推计算公式:

  其中第二个式子的不等号在W为BEC取等,因此我们可以精确的计算巴氏参数,而且计算复杂度也较低,为O(NlogN)。

  后来,Arikan给出了当W不为BEC信道时的计算方法,他提出使用“Monte-Carlo算法”(蒙特卡罗法)来近似计算巴氏参数,然而,这个计算的复杂度因输出符号集的指数型爆炸增长而变得不可能。

  还有一种方法也用来进行巴氏参数的估计——Density Evolution(密度进化),但是这个方法缺点在于计算复杂度还是较高(为O(n)),同时精确度也不好。

  目前我们项目组所使用的信息位选择采用的是tal-vardy所提出的算法。这种算法是Tal和Vardy于2013年发表在IEEE上的一篇21页的论文中提出的,论文名为《how to construct polar code》,感兴趣的读者可以去了解一下。如果对英文阅读感觉到不舒服,读者也可以参考《极化码编码与译码算法研究》[王继伟]在2.2.3节中对这种算法的较为详细的中文介绍。

  这种算法主要通过信道弱化和信道强化操作,将的输出符号集进行合并,使其能够具有符合我们需要长度的输出符号集大小。另外,对于我们经常用到的AWGN信道,通过高斯近似(GA)方法可以在非常低的复杂度下在较高的精确度上选择信息位。这里列出两篇发表在IEEE上的参考论文,有兴趣的读者可以自行去了解,这里不再展开说了。

  【1】《Evaluation and Optimization of Gaussian Approximation for Polar Codes》.Jincheng Dai等.(2016.5)

  【2】《Construction and Block Error Rate Analysis of Polar Codes Over AWGN Channel Based on Gaussian Approximation》.Daolong Wu等.(2014.7)

   除此之外,还有一种办法可以提高极化码的构造效率。那就是使用“design-SNR”。

  不管我们采用什么构造办法,信息位的选取总是与SNR的取值密切相关。我们在仿真极化码性能的时候,往往会以SNR为仿真图的横坐标,以BER、FER为纵坐标,观察曲线走向,通过对比曲线判断优劣。但是每一次带入新的SNR值,都要重新构造一个新的参数向量P,然后重新挑选信息位,这种传统的构造方法我们称为“point-by-point(逐点SNR)”。这种重复性的工作无疑增加了极化码构造的时间复杂度。

  通过研究,我们发现,对于一个特定的码率,总存在一个完美的SNR,我们称之为“design-SNR(设计SNR)”,我们只需要代入这个SNR进行一次参数向量P的构造,然后将挑选好的信息位储存起来。以后在这个码率下,不论在哪个SNR值下进行仿真,我们只代入预存的这个信息位进行极化码的构造。由于信息位只构造了一次,时间复杂度得到了显著降低。

  根据仿真结果显示,在码长和码块较大的情况下,design-SNR与point-by-point法契合的非常好,如下图:

  得到了生成矩阵,又构造了信息位。接下来只需要进行简单的矩阵操作,再叠加上噪声,就可以实现极化码的编码。

posted @ 2017-09-11 22:17 Mr-Tiger 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏