The Third Letter

这是一个并查集的题目。

题目要求我们维护多个人之间关系的传递（譬如说已知 A 在 B 前面 $1\text{m}$，B 在 C 前面 $1\text{m}$，则应该能计算出 $A$ 在 $C$ 前面 $2\text{m}$）。

考虑并查集：已知 $A$ 和 $B$ 处于一个集合，$B$ 和 $C$ 处于一个集合，则 $A$ 和 $C$ 处于一个集合。这是不是很像题目要求我们维护的关系？因此。我想到使用并查集解决这个问题。

题目要维护人们之间的距离，因此原先的 fa 数组应当作修改。fa 数组的定义如下：

struct node{size_t p;long long int dis;};
vector<node> fa;

其中，p 仍然表示父节点，而 dis 表示子结点在父节点前面的距离（若在后面则为负数）。

find 函数除了要找到树根，还要计算当前节点在树根前面的距离。

node find(size_t x){
    if (x==fa[x].p) return {x,0}; //自己就是树根，与树根的距离就是0
    else{
        node res=find(fa[x].p);
        return fa[x]={res.p,res.dis+fa[x].dis}; 
        /*树根就是 res.p；
          当前节点到树根的距离 = 父节点与根的距离 res.dis + 当前节点与父节点的距离 fa[x].dis。
          同时路径压缩，fa[x] 接记录与根的距离。*/
    }
}

最后，就是最重要的合并函数了。我选择将查询函数与合并函数放到一块写。若 x 和 y 不在一个集合内（关系无法判断），则合并然后返回 true；否则，根据并查集维护的两点之间的距离与给定条件比对。

bool merge(size_t x,size_t y,long long int dis){
    node fax=find(x),fay=find(y);
    if (fax.p!=fay.p){
        fa[fax.p]={fay.p,-fax.dis+fay.dis+dis};
        return true;
    }else return fax.dis==fay.dis+dis;
}

最后，不开 long long 见祖宗（某人因此被 hack 了）

完整代码：

#include<bits/extc++.h>
using namespace std;
namespace pbds=__gnu_pbds;
using ui=unsigned int;
class dsds{
    struct node{size_t p;long long int dis;};
    vector<node> fa;
    node find(size_t x){
        if (x==fa[x].p) return {x,0};
        else{
            node res=find(fa[x].p);
            return fa[x]={res.p,res.dis+fa[x].dis};
        }
    }
public:
	//构造函数，将数组大小初始化为 n ，循环赋值父节点为自己，dis 初始化为 0
    dsds(size_t n):fa(n){for (size_t i=0;i<n;i++) fa[i].p=i,fa[i].dis=0;}
    bool merge(size_t x,size_t y,long long int dis){
        node fax=find(x),fay=find(y);
        if (fax.p!=fay.p){
            fa[fax.p]={fay.p,-fax.dis+fay.dis+dis};
            return true;
        }else return fax.dis==fay.dis+dis;
    }
};
int main(void){
    ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr);
    size_t T;
    cin>>T;
    while (T--){
        size_t n,m;bool flag=true;  //是否全部符合的标记
        cin>>n>>m;
        dsds ds(n);
        while (m--){
            size_t a,b;long long int d;
            cin>>a>>b>>d;
            if (!ds.merge(--a,--b,d)) flag=false; //个人习惯从 0 存储因此 -1；当不符合（返回 false）时才标记 flag，因此要作非运算
        }
        cout<<(flag?"YES":"NO")<<'\n';
    }
    return 0;
}