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阅前注意：本文下标均从 0 开始，代码通常遵循“左闭右开”规则。

题意简述

在圆上有 $N$ 条弦（不会共用一个端点），判断是否有任意两条弦相交。

思路简析

圆上问题不好想，不如转换成 OIer 们喜闻乐见的序列问题。将圆从 $2N-1$ 号点与 $0$ 号点间断开，拉直，让它变成区间问题。

例如：

可以转化成：

容易发现，当两条弦相交时，当且仅当他们所对应的区间不存在包含关系但有重叠（形式化的，对于区间 $[a,b]$ 与 $[c,d]$，应满足 $a<c<b<d$ 或 $c<a<d<b$）。此时可以通过两层循环枚举两个区间，实现 $O(N^2)$ 的暴力做法。

如何优化到题目可接受的复杂度内？我使用了树状数组。

具体来说：

1. 维护一个树状数组，初始全部为 $0$
2. 按照左端点从小到大的顺序枚举区间
   1. 先判断区间两端的单点值是否相同，若不相同则说明出现交点
   2. 否则将该区间内元素 $+1$。

正确性证明

证明可能有不严谨，还请谅解，理解万岁。

假如数组内已经存入了区间 $[a,b]$。那么对于满足 $a\le i\le b$ 的任意 $i$，其树状数组单点查询的结果 $f_i=1$。加入第二个区间 $[c,d]$ 时，按左端点排序使其必定满足 $a<c$。那么 $[c,d]$ 与 $[a,b]$ 的关系有以下几种：

• $a<b<c<d$，此时 $f_c=f_d=0$，区间无重合。
• $a<c<b<d$，此时 $f_c=1,f_d=0$，两个区间满足题目要求。
• $a<c<d<b$，此时 $f_c=f_d=1$，两个区间是包含关系，不会产生交点。

代码

#include<bits/extc++.h>
using namespace std;
namespace pbds=__gnu_pbds;
using ui=unsigned int;
using uli=unsigned long long int;
using li=long long int;
// 树状数组类，随用随拷贝
class FenwickTree{
    vector<int> tree;
    int prefix_sum(size_t p) const{
        int res=0;
        for (--p;p<tree.size();p=(p&p+1)-1) res+=tree[p];
        return res;
    }
public:
    FenwickTree(size_t n):tree(n){}
    void add_point(size_t p,int const& val){
        for (;p<tree.size();p|=p+1) tree[p]+=val;
    }
    int get_sum(size_t l,size_t r) const{
        return prefix_sum(r)-prefix_sum(l);
    }
    size_t size(void) const{return tree.size();}
};
class DifferenceFenwick{
    FenwickTree tree;
public:
    DifferenceFenwick(size_t n):tree(n){}
    friend istream& operator>>(istream& in,DifferenceFenwick& t){
        for (size_t i=0;i<t.size();i++){
            int x;
            in>>x;
            t.add_point(i,x);
        }
        return in;
    }
    void add_interval(size_t l,size_t r,int const& val){
        tree.add_point(l,val),tree.add_point(r,-val);
    }
    void add_point(size_t p,int const& val){add_interval(p,p+1,val);}
    int get_val(size_t p){return tree.get_sum(0,p+1);}
    size_t size(void){return tree.size();}
};
int main(void){
    ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr);
    size_t n;
    cin>>n;
    vector<pair<ui,ui>> a(n);
    for (pair<ui,ui>& i:a){
        cin>>i.first>>i.second;
        if (--i.first > --i.second) swap(i.first,i.second); // 下标从 0 开始，因此全部 -1；检查大小关系，满足 左端点<右端点
    }
    sort(a.begin(),a.end());  // 按照左端点排序。std::pair 已经重载了相关运算符。
    DifferenceFenwick d(n*2); // 步骤 1
    for (pair<ui,ui> i:a){    // 步骤 2
        if (d.get_val(i.first)!=d.get_val(i.second)) cout<<"Yes",exit(0);  // 2.1
        d.add_interval(i.first,i.second+1,1);  // 2.2
    }
    cout<<"No";
    return 0;
}