Non-overlapping Squares

三个矩形之间的相对位置可以用这两种情况概括，其他的所有情况都可以由原矩阵旋转而得：

在此之前，我们先将 $b_{x,y}={\sum }_{i=x}^{x+k-1}{\sum }_{j=y}^{y+k-1}{a}_{i,j}(x\le n-k+1,y\le n-k+1)$ 用二维前缀和预处理出来。时间复杂度 $O(n^2)。$

先来看求第一种情况。先预处理求任意两行之间的最大值（$d_{x,s}={\max }_{i=x}^{x+s}{\max }_{j=1}^{n-k+1}{b}_{i,j}$，可以求出每行的最大值后对着这个数组 DP）。然后，枚举中间的两条分割线，求三个区间内的最大值之和，注意区间间距离不应小于 $k$。总时间复杂度 $O(n^2)$。

对于第二种，DP 预处理出左上角矩形的最大值 $u{l}_{x,y}={\max }_{i=1}^x{\max }_{j=1}^y{b}_{i,j}$、右上角矩形最大值 $u{r}_{x,y}={\max }_{i=1}^x{\max }_{j=y}^{n-k+1}{b}_{i,j}$ 与下方若干行的最大值 $d_x={\max }_{i=x}^{n-k+1}{\max }_{j=1}^{n-k+1}{b}_{i,j}$。枚举两条线求即可。时间复杂度 $O(n^2)$。

以上操作都需要旋转 4 次分别进行。总程序时间复杂度 $O(n^2)$。

#include<bits/extc++.h>
using namespace std;
namespace pbds=__gnu_pbds;
using ui=unsigned int;
using uli=unsigned long long int;
using li=long long int;
template<typename T> class PrefixSum2D{
    vector<vector<T>> sum;
public:
    template<typename S>
    PrefixSum2D(vector<vector<S>> const& a):sum(a.size()+1,vector<T>(a.front().size()+1)){
        size_t const n=a.size(),m=a.front().size();
        for (size_t i=0;i<n;i++) for (size_t j=0;j<m;j++)
            sum[i+1][j+1]=sum[i+1][j]+sum[i][j+1]-sum[i][j]+a[i][j];
    }
    T get_sum(size_t ax,size_t ay,size_t bx,size_t by) const{
        return sum[bx][by]+sum[ax][ay]-sum[ax][by]-sum[bx][ay];
    }
};
uli f(size_t n,size_t k,vector<vector<uli>> const& a){
    vector<vector<uli>> ul(n,vector<uli>(n)),
                        ur(n,vector<uli>(n));
    ul[0][0]=a[0][0];
    for (size_t i=1;i<n;++i) ul[i][0]=max(ul[i-1][0],a[i][0]);
    for (size_t j=1;j<n;++j) ul[0][j]=max(ul[0][j-1],a[0][j]);
    for (size_t i=1;i<n;++i) for (size_t j=1;j<n;++j)
        ul[i][j]=max({ul[i-1][j],ul[i][j-1],a[i][j]});
    ur[0][n-1]=a[0][n-1];
    for (size_t i=1;i<n;++i) ur[i][n-1]=max(ur[i-1][n-1],a[i][n-1]);
    for (size_t j=n-2;j<n;--j) ur[0][j]=max(ur[0][j+1],a[0][j]);
    for (size_t i=1;i<n;++i) for (size_t j=n-2;j<n;--j)
        ur[i][j]=max({ur[i-1][j],ur[i][j+1],a[i][j]});
    vector<uli> d(n);
    d[n-1]=*max_element(a[n-1].cbegin(),a[n-1].cend());
    for (size_t i=n-2;i<n;--i) d[i]=max(d[i+1],*max_element(a[i].cbegin(),a[i].cend()));
    uli ans=numeric_limits<uli>::min();
    for (size_t i=0;i+k<n;++i) for (size_t j=0;j+k<n;++j)
        ans=max(ans,ul[i][j]+ur[i][j+k]+d[i+k]);
    return ans;
}
uli g(size_t n,size_t k,vector<vector<uli>> const& a){
    vector<uli> mx(n);
    for (size_t i=0;i<n;++i) mx[i]=*max_element(a[i].begin(),a[i].end());
    vector<vector<uli>> d(n);
    for (size_t i=0;i<n;++i){
        d[i].push_back(mx[i]);
        for (size_t j=i+1;j<n;++j)
            d[i].push_back(max(mx[j],d[i].back()));
    }
    uli ans=numeric_limits<uli>::min();
    for (size_t i=0;i+k<n;++i) for (size_t j=i+k;j+k<n;++j)
        ans=max(ans,d[0][i-0]+d[i+k][j-(i+k)]+d[j+k][n-1-(j+k)]);
    return ans;
}
vector<vector<uli>> rotate(size_t n,vector<vector<uli>> const& x){
    vector<vector<uli>> y(n,vector<uli>(n));
    for (size_t i=0;i<n;++i) for (size_t j=0;j<n;++j)
        y[i][j]=x[j][n-i-1];
    return y;
}
int main(void){
    ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr);
    size_t n,m;cin>>n>>m;
    vector<vector<ui>> a(n,vector<ui>(n));
    for (vector<ui>& i:a) for (ui& j:i) cin>>j;
    size_t k=n-m+1;
    vector<vector<uli>> b(k,vector<uli>(k));
    {
        PrefixSum2D<uli> s(a);
        for (size_t i=0;i<k;++i) for (size_t j=0;j<k;++j)
            b[i][j]=s.get_sum(i,j,i+m,j+m);
    }
    cout<<max({f(k,m,b),g(k,m,b),
               f(k,m,rotate(k,b)),g(k,m,rotate(k,b)),
               f(k,m,rotate(k,rotate(k,b))),g(k,m,rotate(k,rotate(k,b))),
               f(k,m,rotate(k,rotate(k,rotate(k,b)))),g(k,m,rotate(k,rotate(k,rotate(k,b))))});
    return 0;
}