[SDCPC2023] Not Another Path Query Problem

还记得如何比较两个数的大小吗？在两个数数位长度都相同的情况下，从高位开始依次比较。题目中数据的值域为 $[0,2^{60})$，我们比较最多约 $60$ 次即可得知答案。

我们依次考虑 $V$ 二进制前缀的若干位。

开 $60$ 个并查集。对于长度为 $i$ 后缀，我们将其最后一位强制赋上 $1$，记这个值为 $s$。
然后，倘若当前边长度为 $i$ 的后缀中，$s$ 所有为 $1$ 的位 $i$ 都为 $1$，就把这条边加进并查集 $i$。这样，可以保证并查集 $i$ 的所有边之与运算之和，其长度为 $i$ 的前缀大于等于 $s$。

证明：二进制意义下，$a<b$ 的一个必要条件是存在某一位 $i$，$a$ 的第 $i$ 位为 $0$，$b$ 的第 $i$ 位为 $1$。而在我们的操作中，保证了 $s$ 为 $1$ 的所有位，边权的当前位也必定为 $1$。该必要条件无法被满足。

查询时，从高位到低位扫一遍 $60$ 个并查集。若能遍历到这一位，说明我们已经考虑过前面的位了，只关心这一位的内容即可。每一位根据 $V$ 的二进制位分类讨论：

• $V$ 的当前位为 $0$：我们加入并查集的时候最后一位被修改为了 $1$。倘若并查集告诉我们这两个点联通，则这两点之间存在一条略大于 $V$ 的路径，直接打飞，否则继续枚举；
• $V$ 的当前位为 $1$：此时并查集存入的正是 $V$ 的前缀。若两点不联通，就肯定不存在大于等于 $V$ 的路径了，直接打飞，否则继续枚举。

不过，这套方法只能考虑到是否存在大于 $V$ 的边。特殊处理一下，再单独拉个并查集把等于的扔进去就对了。

#include <cstddef>
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
istream& fin = cin;
ostream& fout = cout;
using ui = unsigned int;
using uli = unsigned long long int;
using li = long long int;
using Graph = vector<vector<size_t>>;
struct DSU {
  vector<ptrdiff_t> fa;
  DSU(size_t n): fa(n, -1) {}
  size_t find(size_t x) { return fa[x] < 0 ? x : fa[x] = find(fa[x]); }
  size_t setSize(size_t x) { return -fa[find(x)]; }
  bool check(size_t x, size_t y) { return find(x) == find(y); }
  void merge(size_t x, size_t y) {
    if (check(x, y)) return;
    if (setSize(x) > setSize(y)) swap(x, y);
    fa[find(y)] -= setSize(x);
    fa[find(x)] = find(y);
  }
};
int main(void) {
  ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr);
  size_t n, m, q;
  uli k;
  fin >> n >> m >> q >> k;
  vector<DSU> ds(61, DSU{n});
  while (m--) {
    size_t u, v;
    uli w;
    fin >> u >> v >> w;
    --u, --v;
    for (size_t i = 0; i < 60; ++i)
      if (((w >> i) & (k >> i | 1)) == (k >> i | 1)) ds[i].merge(u, v);
    if ((w & k) == k) ds[60].merge(u, v);
  }
  while (q--) {
    size_t x, y;
    fin >> x >> y;
    --x, --y;
    if (ds[60].check(x, y)) goto yes;
    for (size_t i = 59; i < 60; --i) {
      bool tst = ds[i].check(x, y);
      if (((k >> i) & 1) && !tst) goto no;
      if (!((k >> i) & 1) && tst) goto yes;
    }
  no:
    fout << "No\n";
    continue;
  yes:
    fout << "Yes\n";
  }
  return 0;
}