2024-3月 DP 总结

换根 DP

• 换根 DP，又称二次扫描，一般用于求解无根树问题。大多数时候将 \(n\) 次 dfs 简化为 \(2\) 次从而优化算法。

经典套路：

\(1.\) 指定某个节点为根节点（一般为 \(1\)）。

\(2.\) 第一次搜索完成预处理，同时得到该节点的解。

\(3.\) 第二次搜索进行换根 DP，由已知节点推出相邻节点。

具体地，设 \(f\) 和 \(g\) 两个数组分别表示第一次子树内的答案和以其为根的答案（也可以设子树外的答案）。第一次 dfs 处理 \(f\)，第二次 dfs 通过父亲的 \(g\) 推出儿子。也即第一次自底向上，第二次自顶向下。这就是所谓“换根”的过程。

例题1 P3478 [POI2008] STA-Station

【题意】

给出一棵树,找出一个点来,使得以这个点为根时所有点的深度之和最大。

【解析】

设 \(f_i\) 表示 \(i\) 子树内的答案，则显然地，\(f_u=\sum_{v\in u}f_v+siz_v\)，这里的 \(siz\) 表示子树大小。

第二次 dfs，考虑设 \(g_i\) 表示以 \(i\) 为整棵树的根的答案。则 \(g_v=g_u+n-2\times siz_v\)。特殊地，\(g_1=f_1\)。

答案为 \(\max g_i\)，时空复杂度 \(O(n)\)。

例题2 CF1156D 0-1-Tree

可以左转我的题解。

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斜率优化 DP

• 斜率优化，一般是在转移方程中当前为 \(i\)，枚举决策点 \(j\)，然后化简式子出现同时与 \(i\) 和 \(j\) 有关的项（如果没有可以单调队列）。这样的话有点像一次函数，形如 \(y=kx+b\)，那么这里的 \(kx\) 就是与\(i\) 和 \(j\) 有关的项（具体题目具体分析）。问题变成查询最有决策点。

• 如果式子中的 \(x\) 与 \(y\) 都有单调性，可以使用单调队列线性维护。否则有两种做法：维护凸壳并二分或李超树（也可以平衡树或 cdq 分治，但我不会，就不弄巧成拙了）。这些做法是带一个 log 的。

经典套路：

\(1.\) 写出朴素转移方程。

\(2.\) 化简并设出 \(x,y,k,b\)，根据所求决定维护上凸还是下凸（最大值还是最小值）。

\(3.\) 看单调性决定维护方式。

例题1 P3195 [HNOI2008] 玩具装箱

【题意】

给定一个序列，要求将其划分成若干段，一段划分为 \([i,j]\) 的费用为 \((j-i+\sum_{k=i}^jC_k-L)^2\)（这里的 \(C_k\) 为给定数组，\(L\) 为给定常量）。最小化划分序列的费用和。

【解析】

朴素的转移方程为：（设 \(f_i\) 表示考虑到 \(i\) 的答案，\(s_i\) 表示 \(C_i\) 的前缀和）

\[f_i=\min_{1\le j<i}(f_j+[i-(j+1)+s_i-s_j-L]^2) \]

换元并化简，设 \(a_i=s_i+i，b_i=s_i+i+L+1\)。

\[\begin{aligned} &f_i=\min_{1\le j<i}(f_j+[a_i-b_j]^2)\\ &f_i=\min_{1\le j<i}(f_j+a_i^2+b_j^2-2\times a_i\times b_j)\\ \end{aligned} \]

先不管取 \(\min\)，先推式子，并把只与 \(j\) 有关的移到一边，尝试分离 \(i\) 和 \(j\)。

\[\begin{aligned} f_i&=f_j+a_i^2+b_j^2-2\times a_i\times b_j\\ f_j+b_j^2&=f_i-a_i^2+2\times a_i\times b_j \end{aligned} \]

我们发现，如果设 \(y=f_j+b_j^2，k=2\times a_i，x=b_j，b=f_i-a_i^2\)，那么方程变成了一个一次函数形式 \(y=kx+b\)。所以要做的就是在二维平面中找一个斜率固定的直线使 \(b\) 最小。

观察数据，\(y=f_j+b_j^2\) 和 \(x=b_j\) 都单调递增，所以使用单调队列优化，时空复杂度线性。