数学小报2 -对数 log

数学小报 -对数 log

0. 前言

非常感谢大家提出的意见。那么接下来是对于一些问题的回答以及问题的纠正。

1. 第一个方程列错了，正确的是 \(a^2-x^2=b^2-(c-x)^2\)，解为 \(x=\frac{a^2-b^2+c^2}{2c}\)。
2. 计算 \(h^2\) 的第五个等式，分母 \(4c\) 改为 \(4c^2\)。
3. 计算 \(S\) 的最终结果漏了根号，应为 \(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)。
4. 之前有一位同学提出几何题可以通过建立平面直角坐标系来解（我好像发现了数学的BUG），其实这种方法叫做建系，不过需要强大的计算力而且化为函数也难（例：角平分线怎么做呢），不推荐在日常学习中使用。
5. 有同学提出意见说我写的太简单了，我认为数学小报是给同学们展示数学的一些小知识和魅力，不追求难而应追求其内在。

接下来的数学小报我会严格检查。每个小报最新版本请见 https://blog.csdn.net/Dream_Oler_ZJW。

1. 思考

加法的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法。幂运算的逆运算除了开方，还有一个运算：对数运算。我们观察一个幂：\(a^b=c\)，幂运算是已知 \(a,b\) 求 \(c\)，开方是已知 \(b,c\) 求 \(a\)，对数则是已知 \(a,c\) 求 \(b\)。

我们如何学习一种运算？可以从以下几个方面入手：

1. 前置知识（乘法的前置是加法） 2. 定义和概念 3. 公式和规律 4.用途

2. 定义（注意！在这里我们不讨论 \(a \le 0\) （思考：为什么？）或 \(a=1\) 的情况，无意义）

\[若 a^b=c，则 \log_a c=b， a 为底数，c为幂，b为指数 \]

3. 总结

\[\left\{ \begin{matrix} a^{\log_a b}=b ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~定义式\\ \frac{n}{m}\log_a b=\log_{a^m}b^n~~~~~~~~~~~~~定义式升级版本\\ \log_a b+\log_a c=\log_a bc~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~加法\\ \log_a b-\log_a c=\log_a\frac{b}{c}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~减法\\ \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~换底公式\\ \end{matrix} \right. \]

4. 基本运算

设 \(\log_a b=x,~\log_a c=y,~\log_c a=z\) 即 \(a^x=b,a^y=c,c^z=a\)

证明的思路：转化为之前学过的幂的运算来证明即可。

4.0 定义式 \(a^{\log_a b}=b\) 由定义易得

4.1 定义式 Max Pro 版本

\(\frac{n}{m}\log_a b=\log_{a^m}b^n\)

证明：

\(\displaystyle \because (a^m)^{\frac{n}{m}\log_a b}=a^{n\log_a b}=(a^{\log{_ab}})^n=b^n\)（定义式）

\(\therefore \frac{n}{m}\log_a b=\log_{a^m}b^n\)

4.2 加法

\(\log_a b+\log_a c=\log_a bc\)

证明：

\(\because a^x \times a^y=a^{x+y}\) 即 \((b \times c=bc)\)

\(\therefore \log_a bc=x+y=\log_a b+\log_a c\)

4.3 减法

\(\log_a b-\log_a c=\log_a\frac{b}{c}\)

4.4 换底公式

\(\displaystyle \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}\)，也就是要证明 \(\log_a b \times \log_c a=\log_c b\)

\(\because c^z=a,a^x=b\)

\(\therefore (c^z)^x=b\) 即 \(c^{xz}=b\)