数学小报4 - 三次方程的求根公式 The root formula for a cubic equation

数学小报4 - 三次方程的求根公式 The root formula for a cubic equation

1. 思考

我们学习过一元二次方程的求根公式 \(x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)，思考是否存在一元三次方程的求根公式，便展开讨论。

补充 \(\omega^2+\omega+1=0\) 且 \(\omega^3=1\)，将 \(\omega\) 称为 \(1\) 的三次单位根。

2. 证明 卡尔丹公式证明

设一元三次方程 \(ay^3+by^2+cy+d=0~~(1)\)

令 \(y=x-\frac{b}{3a}\)，代入得：\(x^3-\frac{b^2-3ac}{3a^2}x+\frac{ab^3-9bc+27a^2d}{27a^3}=0~~(2)\)

令 \(p=\frac{b^2-3ac}{3a^2}，q=\frac{2b^3-9bc+27a^2d}{27a^3}\)，则 \(x^3-px+q=0~~(3)\)

令 \(x=u+v\)，代入至 (3) 式得：\(u^3+v^3+(3uv-p)(u+v)+q=0~~(4)\)

令 \(3uv-p=0\) 即 \(uv=\frac{p}{3}\)，代入 (4) 式得：\(u^3+v^3=-q~~(5)\)

\(\therefore u^3\times v^3=\frac{p^3}{27}~~(6)\)

\[\begin{aligned} &联立 (5) 和 (6)式得: \left\{ \begin{matrix} u^3+v^3=-q\\ u^3\times v^3=-\frac{q^3}{27}\\ \end{matrix} \right. ~~即 \left\{ \begin{matrix} u^3=-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}\\ v^3=-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}\\ \end{matrix} \right.\\ &\therefore u=\left\{ \begin{matrix} \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}\\ \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}·\omega\\ \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}·\omega^2\\ \end{matrix} \right. ~~~~ v=\left\{ \begin{matrix} \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}} \\ \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}·\omega\\ \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}·\omega^2\\ \end{matrix} \right.\\ &\because uv=\frac{p}{3}\\ &\therefore x=\left\{ \begin{matrix} \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}+ \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}\\ \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}·\omega+ \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}·\omega^2\\ \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}·\omega^2+ \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}·\omega\\ \end{matrix} \right. \end{aligned} \]

3. 总结

一元二次方程有自己的判别式，其实在一元三次方程中也有自己的判别式：\(\Delta=\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}\)

条件	情况
\(\Delta>0\)	方程有一个实根和一对共轭虚根
\(\Delta=0\) 且 \(pq \neq 0\)	方程有一个两重实根和一个单重实根
\(\Delta<0\)	方程有三个互异实根
\(p=q=0\)	方程有一个三重实根

4. 另一种证法（出自数学女孩）

设一元三次方程 \(ay^3+by^2+cy+d=0~~(1)\)

令 \(y=x-\frac{b}{3a}\)，代入得：\(x^3-\frac{b^2-3ac}{3a^2}x+\frac{ab^3-9bc+27a^2d}{27a^3}=0~~(2)\)

令 \(p=-\frac{b^2-3ac}{3a^2}，q=\frac{2b^3-9bc+27a^2d}{27a^3}\)，则 \(x^3+px+q=0~~(3)\)

令方程的三个解分别为 \(\alpha,\beta,\gamma\)

则有 \((x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=0\)，即：

\[\displaystyle\begin{aligned} &x^3+(\alpha+\beta+\gamma)x^2-(\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma)x-\alpha\beta\gamma=0\\\\ &\therefore\left\{\begin{matrix}\begin{aligned} \alpha+\beta+\gamma&=0\\ \alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma&=p\\ -\alpha\beta\gamma&=q\\ \end{aligned}\end{matrix}\right. ~~~~~~~~~~~~令\left\{\begin{matrix} L=\omega\alpha+\omega^2\beta+\gamma\\ R=\omega^2\alpha+\omega\beta+\gamma \end{matrix}\right.\\\\ &则\left\{\begin{matrix}\begin{aligned} L+R+\alpha+\beta=L+R-\gamma=2\gamma,\gamma&=\frac{L+R}{3}\\ \omega^2L+\omega R+\beta+\gamma=\omega^2L+\omega R-\alpha=2\alpha,\alpha&=\frac{\omega^2L+\omega R}{3}\\ \omega L+\omega^2R+\beta+\gamma=\omega L+\omega^2R-\beta=2\beta,\beta&=\frac{\omega L+\omega^2R}{3}\\ \end{aligned}\end{matrix}\right.\\ &\therefore\left\{\begin{matrix}\begin{aligned} \alpha&=\frac{\omega^2L+\omega R}{3}\\ \beta&=\frac{\omega L+\omega^2R}{3}\\ \gamma&=\frac{L+R}{3}\\ \end{aligned}\end{matrix}\right.\\\\ &\begin{aligned} \because L^3+R^3&=(L+R)(L+\omega R)(L+\omega^2)=\\ &(\omega\alpha+\omega^2\beta+\gamma+\omega^2\alpha+\omega\beta+\gamma)·\\ &(\omega\alpha+\omega^2\beta+\gamma+\alpha+\omega^2\beta+\omega\gamma)·\\ &(\omega\alpha+\omega^2\beta+\gamma+\omega\alpha+\beta+\omega^2\gamma)\\ &=(-3\gamma)(-3\omega^2\beta)(-3\omega\alpha)\\ &=-27\omega^3\alpha\beta\gamma\\ &=-27q\\ L^3R^3&=(LR)^3\\ &=(\alpha+\omega\alpha\beta+\omega^2\alpha\gamma+\omega^2\alpha\beta+\beta^2+\omega^2\beta\gamma\\&+\omega\beta\gamma+\omega\alpha\gamma+\omega^2\beta\gamma+\gamma^2)^3\\ &=[(\alpha+\beta+\gamma)^2-3\alpha\beta-3\beta\gamma-3\alpha\gamma]\\ &=-3(\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma)\\ &=-27p^3\\ \end{aligned}\\\\ &\therefore \left\{\begin{matrix}\begin{aligned} L^3+R^3 &=-27q\\ L^3R^3 &=-27p^3\\ \end{aligned}\end{matrix}\right. ~~~~~~~~~~~~~~解得\left\{\begin{matrix}\begin{aligned} L^3&=\sqrt[3]{\frac{-27q+\sqrt{(27q)^2+108p^3}}{2}}\\ R^3&=\sqrt[3]{\frac{-27q-\sqrt{(27q)^2+108p^3}}{2}}\\ \end{aligned}\end{matrix}\right.\\\\ &令:\left\{\begin{matrix}\begin{aligned} A&=-\frac{27q}{2}\\ B&=\frac{\sqrt{(27q)^2+108p^3}}{2}\\ \end{aligned}\end{matrix}\right. ~~则\left\{\begin{matrix}\begin{aligned} L&=\sqrt[3]{A+\sqrt{B}}\\ R&=\sqrt[3]{A-\sqrt{B}}\\ \end{aligned}\end{matrix}\right.\\\\ &\because\left\{\begin{matrix}\begin{aligned} \alpha&=\frac{\omega^2L+\omega R}{3}\\ \beta&=\frac{\omega L+\omega^2R}{3}\\ \gamma&=\frac{L+R}{3}\\ \end{aligned}\end{matrix}\right. ~~~~~~~~~~~~~~~~~\therefore\left\{\begin{matrix}\begin{aligned} \alpha&=\frac{1}{3}(\omega^2\sqrt[3]{A+\sqrt{B}}+\omega\sqrt[3]{A-\sqrt{B}})\\ \beta&=\frac{1}{3}(\omega\sqrt[3]{A+\sqrt{B}}+\omega^2\sqrt[3]{A-\sqrt{B}})\\ \gamma&=\frac{1}{3}(\sqrt[3]{A+\sqrt{B}}+\sqrt[3]{A-\sqrt{B}})\\ \end{aligned}\end{matrix}\right.\\\\ &\because\left\{\begin{matrix}\begin{aligned} p&=-\frac{b^2-3ac}{3a^2}\\ q&=\frac{2b^3-9bc+27a^2d}{27a^3} \end{aligned}\end{matrix}\right.\\\\ &\therefore\left\{\begin{matrix}\begin{aligned} A&=-\frac{2b^3-9bc+27a^2d}{2a^3}\\ B&=\frac{27(27a^2d^2-18abcd+4b^3d+4ac^2-b^2c^2)}{4a^4}\\ \end{aligned}\end{matrix}\right.\\\\ &\therefore\left\{\begin{matrix}\begin{aligned} \alpha&=\frac{1}{3}(\omega^2\sqrt[3]{A+\sqrt{B}}+\omega\sqrt[3]{A-\sqrt{B}})-\frac{b}{3a}\\ \beta&=\frac{1}{3}(\omega\sqrt[3]{A+\sqrt{B}}+\omega^2\sqrt[3]{A-\sqrt{B}})-\frac{b}{3a}\\ \gamma&=\frac{1}{3}(\sqrt[3]{A+\sqrt{B}}+\sqrt[3]{A-\sqrt{B}})-\frac{b}{3a}\\ \end{aligned}\end{matrix}\right.\\ \end{aligned} \]